Cours Dérivées et primitives

Chapitre 2
Dérivées et primitives
I. RAPPELS SUR LES DROITES ET LES FONCTIONS
AFFINES
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur ℝ par :
f (x )=ax+b, avec a et b réels.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation y=ax+ b où :
• a est le coefficient directeur
• b est l'ordonnée à l'origine
Remarque
Lorsque b=0, la fonction affine devient linéaire : f (x)=ax.
La droite passe alors par l'origine du repère.
Remarque : soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points de la droite, on a : a=
y B−y A
.
x B−x A
Exemples : voir activité 1
II. NOMBRE DERIVE ET TANGENTE
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa courbe
représentative.
Soit A(a ; f (a )) un point de la courbe .
Soit M (a+h ; f (a+h )) un autre point de la courbe.
1) Taux d'accroissement de f entre a et a+h
Définition
Le coefficient directeur de la droite (AM) est :
f (a+h)−f (a )
r (h )=
h
Ce nombre r(h) est appelé taux d'accroissement de f entre a et a+h.
Chapitre 2 : Dérivées et primitives
1
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur ℝ pour f (x)=x 2 .
Soit a=3. Soit h>0.
Quel est le taux d'accroissement de f entre a et a+h ?
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
2)
Nombre dérivé de f en a
Remarque : r (0 ) n'existe pas mais on s'intéresse à ce que devient r (h ) quand h s'approche de 0.
Définition
Si r (h ) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0 alors on dit que f est dérivable en a.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a, et il est noté f'(a).
f (a+h)−f (a)
On écrit alors : f'(a)=lim
h
h →0
f'(a)=lim r ( h)
(
h →0
)
Exercice 2
1) Reprenons l'exemple précédent.
Montrer que f est dérivable en 3 et calculer son nombre dérivé en 3.
2) Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x 2+ x.
Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f'(1).
3)
Interprétation graphique
Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche de A.
Ainsi, lorsque h tend vers 0, le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers f'(a) (si r(h)
tend vers f'(a)).
Définition
Si f est dérivable en a, on appelle tangente à la courbe C au point
A, la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le
nombre dérivé f'(a).
Chapitre 2 : Dérivées et primitives
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Remarque
Une équation de la tangente peut s'écrire y=f '(a ) x+b où b est un réel que l'on déterminera en
écrivant que les coordonnées du point A vérifient cette équation (puisque ce point appartient à la
droite.)
Exercice 3
Reprenons la fonction f définie sur ℝ par f (x)=x 2+ x. Quelle est l'équation de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse 1 ?
Remarque
On peut aussi retenir que l'équation de la tangente à la courbe C au point A(a ; f (a )) est donnée
par : y=f'(a)(x−a )+f (a ).
Exercice 4
Retrouver l'équation de la tangente demandée dans l'exercice précédent en utilisant cette méthode.
III.
FONCTION DERIVEE
1) Définition
Définition
Si f est dérivable en tout point a d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.
Remarque
Dire que f est dérivable en a signifie que le nombre
dérivé f'(a) existe, donc que la tangente à la courbe C f
au point A(a ; f (a )) existe.
Ainsi, si f est dérivable sur I, alors en chaque point la
courbe a une tangente.
Définition
Soit f une fonction dérivable sur I.
La fonction qui à chaque réel x de I associe le nombre dérivé f'(x) de f en x est appelée fonction
dérivée de f et se note f' :
f': x → f'(x)
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2) Dérivées de fonctions usuelles
Propriétés
Fonction
Fonction dérivée
Fonction affine : f (x )=ax+b
f '(x)=a
Fonction linéaire : f (x)=ax
f '(x)=a
Fonction constante : f (x )= b
Fonction puissance : f (x )=x
f '(x)=0
n
Fonction carré : f (x )=x 2
Fonction inverse : f (x )=
1
x
Fonction racine : f (x)= √ x
f '(x)=n x n−1
f '(x)=2x
f '(x)= −
f '(x)=
1
x2
1
2√ x
Exercice 5
1) Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
a)
f (x)=2x+7
g (x)=x 7
b)
1
2) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes en x =−2, puis en x = .
2
f (x)=x 2
a)
g (x)=x 3
b)
1
h (x )=
c)
x
d)
p(x )=−3x−5
3) Calculer le nombre dérivé de la fonction k, telle que k (x)=√ x , en 4 puis en 5.
Exercice 6
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x 3 et
C sa courbe représentative.
1) A est le point d'abscisse 1 de la courbe C.
Déterminer une équation de la tangente T à C en A.
2) Tracer la tangente T sur le dessin ci-contre.
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Propriétés sur le cosinus et le sinus
Fonction
Fonction dérivée
f (x )=cos(x )
f '(x)=−sin( x)
f (x)=sin (x)
f '(x)=cos(x)
f (t )=cos(ω t+φ)
f '(t)=−ω sin(ω t+φ)
f (t )=sin(ω t+φ)
f '(t)=ω cos (ω t+φ)
( ω et φ étant des réels)
3) Dérivées et opérations
Théorèmes
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
•
La somme u+v est dérivable sur I et (u+v)' =u'+v' .
•
Le produit uv est dérivable sur I et (uv) '=u' v+u v' .
•
Le produit ku où k est une constante réelle, est dérivable sur I et (ku) '=k u' .
•
Le carré u 2 de la fonction u est dérivable sur I et (u 2 )'= 2u u' .
•
L'inverse
•
Le quotient
()
sur I, est dérivable sur I et ( )
1
de v, avec v ( x)≠0 sur I, est dérivable sur I et
v
u
avec v ( x)≠0
v
1 '
v'
=− 2 .
v
v
u ' u' v−u v'
=
.
v
v2
Exercice 7
Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes :
f (x)=x 3 +5x
1)
g (x)=x 2 cos(x )
2)
1
h (x )= 2
3)
x +1
2x−3
i(x )=
4)
3x+1
1
j(x )=6 x 2 +
5)
x
2
x +5
6)
k (x)=
3
l(x )=(x 3+1)2
7)
(
)
Exercice 8
Déterminer une équation de la tangente en x =2 à la courbe d'équation y =5x3−2x2 +1.
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Nouveau théorème
• Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel non nul.
La fonction f définie sur I par : f ( x )=(u ( x))n est dérivable sur I, et pour tout x de I, on a :
f '(x)=n. u ' ( x ).(u( x ))n−1 .
On retient que : (u n )'=n.u ' . u n−1 .
•
Soit u une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I et n un entier naturel.
1
La fonction f définie sur I par : f ( x )=
est dérivable sur I, et pour tout x de I, on
(u( x ))n
n.u ' ( x)
f '(x)=−
.
a:
(u( x ))n+1
On retient que :
( )
1 '
n.u '
=− n+1 .
n
u
u
Exercice 9
Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes :
1)
f (x)=(2x+3)2
g (x)=cos x sin 3 x
2)
7
h (x)= 2
3)
(3x +1)4
(5x−1)2
i(x )=
4)
x+1
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4) Signe de la dérivée et sens de variations de la fonction
a) Sens de variation
Théorème : Du sens de variation au signe de la dérivée
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
• Si la fonction f est croissante sur I, alors pour tout x∈I ,
f '(x)≥0.
• Si la fonction f est décroissante sur I, alors pour tout x ∈I ,
f '(x)≤0 .
• Si la fonction f est constante sur I, alors pour tout x ∈I ,
f '(x)=0 .
Théorème : Du signe de la dérivée au sens de variation
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
• Si pour tout x ∈I ,
f '(x)≥0, alors la fonction f est croissante sur I.
• Si pour tout x ∈I ,
f '(x)≤0, alors la fonction f est décroissante sur I.
• Si pour tout x ∈I ,
f '(x)=0, alors la fonction f est constante sur I.
Exercice 10
Soit f la fonction définie sur [−1 ; 3] par
1)
2)
f (x )= −x 2+4x+1 .
Calculer la dérivée de f et déterminer le signe de cette dérivée.
a) Étudier le sens de variation de f sur [−1 ; 3] et construire son tableau de variations.
b) Vérifier la cohérence des résultats précédents avec le graphique affiché par la calculatrice.
b) Extremum
Théorème
Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle I.
Si la fonction dérivée f ' s'annule en x 0 en changeant de signe alors la fonction f admet un
extremum (maximum ou minimum) local en x 0 .
Exercice 11
Soit f la fonction définie sur [−1 ; 2] par : f ( x )=2 x 3−3 x 2 +3 .
Déterminer les extrema locaux de la fonction f sur l'intervalle [−1 ; 2].
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c) Résolution d'une équation de type f ( x)=k.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si la fonction f est dérivable et strictement monotone sur l'intervalle [a ; b] alors tout nombre réel
fixé k compris entre f (a ) et f (b) admet un unique antécédent x 0 compris entre a et b.
Autrement dit, pour tout nombre réel fixé k compris entre f (a) et f (b) l'équation f ( x )=k
(d'inconnue x) admet une unique solution x 0 entre a et b.
Si f est strictement croissante :
a
x0
x
b
Si f est strictement décroissante :
a
x0
b
x
f (b)
f (x)
k
f (a)
f (a)
f (x)
k
f (b)
Exercice 12
Soit f la fonction définie sur [−2 ; 0] par : f ( x )= x 3+ x .
1)
Donner le nombre de solutions de l'équation f ( x )= −1.
2)
En utilisant la calculatrice, donner une valeur approchée à 10−3 de cette(s) solution(s).
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IV. PRIMITIVES
1)
Ensemble des primitives
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ .
On appelle primitive de f sur I toute fonction F dont la dérivée est f.
F
f
F '= f
Exemple
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x)=2 x .
La fonction F définie sur ℝ par F ( x)=......... est une primitive de la fonction f et la fonction G
définie sur ℝ par G (x )=.............. en est une aussi.
F et G sont deux primitives de f sur ℝ .
Exercice 13
Soit f la fonction définie sur ℝ par
f ( x)=(2 x+1)( x 2 + x+3).
1
Vérifier que la fonction F définie sur ℝ par F ( x)= (x 2+ x+3)2 est une primitive de f sur ℝ.
2
Théorème
Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors toutes les autres primitives
de f sur I sont de la forme F +c où c est une constante (c∈ℝ) .
Théorème
Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I.
Parmi les primitives de f définies sur I, il en existe une et une seule vérifiant la relation
F ( x 0 )= y 0 où x 0 et y 0 sont des réels donnés.
Exercice 14
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x)=3 x 2−3.
1)
Donner les primitives de la fonction f sur ℝ .
2)
Déterminer la primitive F de la fonction f qui vérifie la relation F (2)=6.
Exercice 15
Soient F et f les fonctions définies sur ℝ respectivement par f ( x)=3 x 2+2 x−7 et
F ( x)= x 3+ x 2−7 x.
1)
Vérifier que F est une primitive de f sur ℝ .
2)
Déterminer, si elle existe, la fonction G, primitive de f sur ℝ et qui vérifie G (−1)=8.
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2) Primitives de fonctions usuelles
Les primitives de fonctions usuelles sont données par le tableau suivant, dans lequel c représente
une constante réelle.
La fonction f définie par
Admet comme primitives les
fonctions définies par :
Sur :
f ( x )=0
F ( x )=c
ℝ
f ( x )=k
F ( x )=kx+c
ℝ
f ( x )= x n
(n entier supérieur ou égal à 1)
F ( x )=
x n+1
+c
n+1
ℝ
1
xn
(n entier supérieur ou égal à 2)
1
F ( x )= −
+c
(n−1) x n−1
]−∞; 0[ ou ] 0;+∞ [
f ( x )= sin x
F ( x )=−cos x+c
ℝ
f ( x )=cos x
F ( x )=sin x+c
ℝ
f ( x )=
Exemple
Les primitives de la fonction f définie par
3)
Opérations sur les primitives
a)
Somme de deux fonctions
f ( x )=
1
x8
sont données par : …...............................................
Théorème
Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G est une primitive de g sur I, alors F +G est
une primitive de f + g sur I.
Exercice 16
Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ℝ par :
b)
f ( x )=sin x+ x .
Produit d'une fonction par une constante
Théorème
Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si k est un nombre réel, alors kF est une primitive de
kf sur I.
Exercice 17
Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ]0 ;+∞[ par :
Chapitre 2 : Dérivées et primitives
f ( x)= −
1
.
2 x3
10
c)
Primitives de cos(ax+b) et sin(ax+b)
Théorème
Soient a et b deux nombres réels.
• Si f est la fonction définie sur ℝ par f ( x )=cos(ax +b) alors les primitives de la
1
fonction f sur ℝ sont de la forme : F ( x )= sin(ax+b)+c , où c est une constante
a
réelle.
• Si g est la fonction définie sur ℝ par g ( x )= sin(ax+b) alors les primitives de la
1
fonction g sur ℝ sont de la forme : G( x)= − cos (ax+b)+c , où c est une constante
a
réelle.
Exercice 18
a) Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ℝ par : f ( x)=4 cos(5 x).
b) Déterminer les primitives de la fonction g définie sur ℝ par : g (x)=5 sin(3 x+2).
Primitives de fonctions de la forme u' u n et
d)
u'
un
Théorème
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et n un entier naturel non nul.
•
Si f est la fonction définie sur I par : f ( x )=u ' ( x )(u ( x ))n alors les primitives de la
1
(u( x ))n+1+c , où c est une constante réelle.
fonction f sur I sont de la forme : F ( x )=
n+1
•
Si g est la fonction définie sur I par : g ( x )=
u '(x)
alors les primitives de la fonction g
(u ( x ))n
1
+c , où c est une constante réelle.
sur I sont de la forme : G( x)= −
(n−1)(u( x))n−1
Exercice 19
a) Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ℝ par :
f ( x)=7(3 x 2 +5)(x 3 +5 x−1)2 .
2 x+5
.
b) Déterminer les primitives de la fonction g définie sur I par : g (x)= 2
( x +5 x+8)4
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