Cours Dérivées et primitives

Chapitre 2
Dérivées et primitives
I. RAPPELS SUR LES DROITES ET LES FONCTIONS
AFFINES
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur
ℝ
par :
f(x)=ax+b,
avec a et b réels.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation
y=ax+b
où :
•a est le coefficient directeur
•b est l'ordonnée à l'origine
Remarque
Lorsque
b=0,
la fonction affine devient linéaire :
f(x)=ax.
La droite passe alors par l'origine du repère.
Remarque : soient
A(xA;yA)
et
B(xB; yB)
deux points de la droite, on a :
a=yB−yA
xB−xA
.
Exemples : voir activité 1
II.NOMBRE DERIVE ET TANGENTE
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, C sa courbe
représentative.
Soit
A(a ;f (a))
un point de la courbe .
Soit
M(a+h ;f (a+h))
un autre point de la courbe.
1) Taux d'accroissement de f entre a et a+h
Définition
Le coefficient directeur de la droite (AM) est :
r(h)=f(a+h)−f(a)
h
Ce nombre r(h) est appelé taux d'accroissement de f entre
a et a+h.
Chapitre 2 : Dérivées et primitives 1

Exercice 1
Soit f la fonction définie sur
ℝ
pour
f(x)=x2.
Soit
a=3.
Soit
h>0.
Quel est le taux d'accroissement de f entre
a et a+h
?
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2) Nombre dérivé de f en a
Remarque :
r(0)
n'existe pas mais on s'intéresse à ce que devient
r(h)
quand h s'approche de 0.
Définition
Si
r(h)
tend vers un nombre réel quand h tend vers 0 alors on dit que f est dérivable en a.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a, et il est noté
f'(a).
On écrit alors :
f'(a)=lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
(
f'(a)=lim
h→0
r(h)
)
Exercice 2
1) Reprenons l'exemple précédent.
Montrer que f est dérivable en 3 et calculer son nombre dérivé en 3.
2) Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=x2+x.
Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f'(1).
3) Interprétation graphique
Graphiquement, lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche de A.
Ainsi, lorsque h tend vers 0, le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers f'(a) (si r(h)
tend vers f'(a)).
Définition
Si f est dérivable en a, on appelle tangente à la courbe C au point
A, la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le
nombre dérivé f'(a).
Chapitre 2 : Dérivées et primitives 2

Remarque
Une équation de la tangente peut s'écrire
y=f '(a)x+b
où b est un réel que l'on déterminera en
écrivant que les coordonnées du point A vérifient cette équation (puisque ce point appartient à la
droite.)
Exercice 3
Reprenons la fonction f définie sur
ℝ
par
f(x)=x2+x.
Quelle est l'équation de la tangente à la
courbe de f au point d'abscisse 1 ?
Remarque
On peut aussi retenir que l'équation de la tangente à la courbe C au point
A(a ;f (a))
est donnée
par :
y=f'(a)(x−a)+f(a).
Exercice 4
Retrouver l'équation de la tangente demandée dans l'exercice précédent en utilisant cette méthode.
III. FONCTION DERIVEE
1) Définition
Définition
Si f est dérivable en tout point a d'un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I.
Remarque
Dire que f est dérivable en a signifie que le nombre
dérivé f'(a) existe, donc que la tangente à la courbe
Cf
au point
A(a ;f (a))
existe.
Ainsi, si f est dérivable sur I, alors en chaque point la
courbe a une tangente.
Définition
Soit f une fonction dérivable sur I.
La fonction qui à chaque réel x de I associe le nombre dérivé f'(x) de f en x est appelée fonction
dérivée de f et se note f' :
f': x →f'(x)
Chapitre 2 : Dérivées et primitives 3

2) Dérivées de fonctions usuelles
Propriétés
Fonction Fonction dérivée
Fonction affine :
f(x)=ax+b
f '(x)=a
Fonction linéaire :
f(x)=ax
f '(x)=a
Fonction constante :
f(x)=b
f '(x)=0
Fonction puissance :
f(x)=xn
f '(x)=n xn−1
Fonction carré :
f(x)=x2
f '(x)=2x
Fonction inverse :
f(x)=1
x
f '(x)=−1
x2
Fonction racine :
f(x)=
√
x
f '(x)=1
2
√
x
Exercice 5
1) Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
a)
f(x)=2x+7
b)
g(x)=x7
2) Calculer le nombre dérivé des fonctions suivantes en
x=−2,
puis en
x=1
2.
a)
f(x)=x2
b)
g(x)=x3
c)
h(x)=1
x
d)
p(x)=−3x−5
3) Calculer le nombre dérivé de la fonction k, telle que
k(x)=
√
x,
en 4 puis en 5.
Exercice 6
Soit f la fonction définie sur
ℝ
par
f(x)=x3
et
C sa courbe représentative.
1) A est le point d'abscisse 1 de la courbe C.
Déterminer une équation de la tangente T à C en A.
2) Tracer la tangente T sur le dessin ci-contre.
Chapitre 2 : Dérivées et primitives 4

Propriétés sur le cosinus et le sinus
Fonction Fonction dérivée
f(x)=cos(x)
f '(x)=−sin(x)
f(x)=sin (x)
f '(x)=cos(x)
f(t)=cos(ω t+φ)
f '(t)=−ωsin(ω t+φ)
f(t)=sin(ω t+φ)
f '(t)=ωcos(ωt+φ)
(
ω et φ
étant des réels)
3) Dérivées et opérations
Théorèmes
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
•La somme
u+v
est dérivable sur I et
(u+v)'=u'+v' .
•Le produit
uv
est dérivable sur I et
(uv)'=u' v+u v' .
•Le produit
ku
où k est une constante réelle, est dérivable sur I et
(ku)'=k u' .
•Le carré
u2
de la fonction u est dérivable sur I et
(u2)'=2u u' .
•L'inverse
1
v
de v, avec
v(x)≠0
sur I, est dérivable sur I et
(
1
v
)
'=− v'
v2.
•Le quotient
u
v
avec
v(x)≠0
sur I, est dérivable sur I et
(
u
v
)
'=u' v−u v'
v2.
Exercice 7
Déterminer les fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes :
1)
f(x)=x3+5x
2)
g(x)=x2cos(x)
3)
h(x)= 1
x2+1
4)
i(x)=2x−3
3x+1
5)
j(x)=6
(
x2+1
x
)
6)
k(x)=x2+5
3
7)
l(x)=(x3+1)2
Exercice 8
Déterminer une équation de la tangente en
x=2
à la courbe d'équation
y=5x3−2x2+1.
Chapitre 2 : Dérivées et primitives 5