chapitre 13 : fonction exponentielle u(x)

Exponentielle u(x)
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CHAPITRE 13 : FONCTION EXPONENTIELLE U(X)
1. Dérivées des fonctions de la forme
x a eu ( x )
Théorème
Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la fonction f définie sur I par
f ( x ) = eu ( x ) est dérivable sur I et ∀x ∈ I , f '( x) = eu ( x )  ' = u '( x) eu ( x )
Exemple
Calculer les dérivées de chacune des fonctions sur l’intervalle I donné :
a. f : x a 2 x e− x + e −2 x sur I = R
1
b.
f : x a ex
sur I = ] 0 , + ∞ [
a. On obtient ∀x ∈ R , f '( x) = 2(e − x − x e − x ) − 2e −2 x = 2 e − x (1 − x) − 2 e−2 x
b.
On
considère
u:xa
∀x ∈ ] 0 , + ∞ [ , u '( x) = −
1
,
x
u
est
définie
et
dérivable
sur
] 0 ,+ ∞ [
puisque
1
1 1x
0
,
,
'(
)
alors
∀
x
∈
+
∞
f
x
=
−
e
]
[
x2
x2
© Gérard Hirsch – Maths54
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2. Application à la recherche des primitives
Théorème
Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, la fonction définie sur I par
f ( x) = eu ( x ) est une primitive sur I de u '( x) eu ( x )
Exemple
Donner une primitive des fonctions suivantes sur I = R
a. f ( x) = e 2 x (e x + 2)
b. f ( x) =
ex
ex + 2
c. f ( x) =
ex
(e x + 2) 2
d. f ( x) = x e x
2
a. f ( x) = e 2 x (e x + 2)
La fonction f ( x) = e 2 x (e x + 2) est continue sur R
Il faut distribuer le produit f ( x) = e 2 x (e x + 2) = e3 x + 2 e 2 x
1
Les fonctions F définies sur R par F ( x) = e3 x + e2 x + C avec C ∈ R sont les primitives de f
3
sur R .
b. La fonction f : x a
ex
est continue sur R
ex + 2
Posons u ( x) = e x + 2 > 0 alors u '( x) = e x et f ( x) =
u '( x)
u ( x)
Les fonctions F définies sur R par F ( x) = ln u ( x) + C = ln(e x + 2) + C avec C ∈ R sont les
primitives de f sur R .
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c. La fonction f : x a
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ex
est continue sur R
(e x + 2) 2
Posons u ( x) = e x + 2 > 0 alors u '( x) = e x et f ( x) =
u '( x)
u 2 ( x)
Les fonctions F définies sur R par F ( x) = −
1
1
+C = − x
+ C avec C ∈ R sont les
u ( x)
e +2
primitives de f sur R .
2
d. La fonction f : x a x e x est continue sur R
1
Posons u ( x) = x 2 alors u '( x) = 2 x et f ( x) = u '( x) eu ( x )
2
1
1 2
Les fonctions F définies sur R par F ( x) = eu ( x ) + C = e x + C avec C ∈ R sont les primitives
2
2
de f sur R .
Exemple
1
Calculer l’intégrale suivante I = ∫
1
2
et
dt
t2
1
1
 1
On écrit la fonction à intégrer sous la forme suivante : I = − ∫  − 2  e t dt
2 
t 
1
1


1
On connaît maintenant la primitive de la fonction à intégrer I = − e1/ t  2 = − e1 − e 2  = e 2 − e


1
Finalement I = ∫
1
2
et
dt = e − e
t2
Remarque
Après avoir introduit la fonction logarithme pour déterminer les primitives de la fonction
] 0, + ∞ [
1
sur
x
et la fonction exponentielle pour trouver les solutions de l’équation différentielle
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y ' = y , nous serons amené à créer d’autres fonctions (par exemple) pour déterminer les
primitives de
1
sur R
1 + x2
ex
ne s’expriment pas avec les fonctions
D’autres primitives (par exemple) comme celles de
x
usuelles et nécessiteront l’introduction de fonctions spéciales.
Nous retiendrons que l’on ne peut pas déterminer les primitives de toutes les fonctions
mathématiques.
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