chapitre 13 : fonction exponentielle u(x)

Exponentielle u(x) Cours
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CHAPITRE 13 : FONCTION EXPONENTIELLE U(X)
1. Dérivées des fonctions de la forme ()ux
x
ea
Théorème
Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la fonction f définie sur I par
()
() ux
f
xe= est dérivable sur I et () ' () ,'() '()
ux ux
x
I
f
xe uxe ∀∈ = =
Exemple
Calculer les dérivées de chacune des fonctions sur l’intervalle I donné :
2
.: 2 xx af x xe e surI
−−
+=aR
][
1
.: 0,
x
bfx e surI=+∞a
a. On obtient x∀∈R, 22
'( ) 2( ) 2 2 (1 ) 2
xx x x x
f
xexe e e xe
−− − − −
=−−= −−
b. On considère 1
:ux
x
a, u est définie et dérivable sur
]
[
0,+∞ puisque
][
2
1
0, , '( )
xux
x
∀∈ +∞ =− alors
][
1
2
1
0, , '( ) x
x
fx e
x
∀∈ +∞ =−

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2. Application à la recherche des primitives
Théorème
Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, la fonction définie sur I par
()
() ux
f
xe= est une primitive sur I de () '( ) ux uxe
Exemple
Donner une primitive des fonctions suivantes sur
I
=
R
a. 2
() ( 2)
xx
fx e e=+
b. () 2
x
x
e
fx e =+
c. 2
() (2)
x
x
e
fx e
=+
d. 2
() x
f
xxe=
a. 2
() ( 2)
xx
fx e e=+
La fonction 2
() ( 2)
xx
fx e e=+ est continue sur R
Il faut distribuer le produit 232
() ( 2) 2
xx x x
f
xee e e=+=+
Les fonctions F définies sur R par 32
1
() 3
xx
F x e e C avec C
=
++ ∈R sont les primitives de f
sur R.
b. La fonction :2
x
x
e
fx e+
a est continue sur R
Posons ( ) 2 0
x
ux e=+> alors '( ) x ux e= et '( )
() ()
ux
fx ux
=
Les fonctions F définies sur R par ( ) ln ( ) ln( 2)
x
Fx ux C e CavecC
=
+= ++ ∈R sont les
primitives de f sur R.

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c. La fonction 2 :(2)
x
x
e
fx e+
a est continue sur R
Posons () 2 0
x
ux e=+>
alors '( ) x
ux e= et 2
'( )
() ()
ux
fx ux
=
Les fonctions F définies sur R par 11
() () 2
x
Fx C CavecC
ux e
=
−+=− + ∈
+R sont les
primitives de f sur R.
d. La fonction 2
:x
f
xxea est continue sur R
Posons 2
()ux x= alors '( ) 2ux x= et ()
1
() '()
2
ux
f
xuxe=
Les fonctions F définies sur R par 2
()
11
() 22
ux x
F x e C e C avec C
=
+= + ∈R sont les primitives
de f sur R.
Exemple
Calculer l’intégrale suivante
1
2
1
2
t
e
I
dt
t
=∫
On écrit la fonction à intégrer sous la forme suivante :
1
2
1
2
1t
I
edt
t
=− −
∫
On connaît maintenant la primitive de la fonction à intégrer 1
2
11
1/ 1 22 t
I
eeeee
=
−=−−=−
Finalement
1
2
1
2
t
e
I
dt e e
t
==−
∫
Remarque
Après avoir introduit la fonction logarithme pour déterminer les primitives de la fonction 1
x
sur
]
[
0,+∞ et la fonction exponentielle pour trouver les solutions de l’équation différentielle

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'
yy
=, nous serons amené à créer d’autres fonctions (par exemple) pour déterminer les
primitives de 2
1
1
x
+ sur R
D’autres primitives (par exemple) comme celles de
x
e
x
ne s’expriment pas avec les fonctions
usuelles et nécessiteront l’introduction de fonctions spéciales.
Nous retiendrons que l’on ne peut pas déterminer les primitives de toutes les fonctions
mathématiques.