TS Pré-requis: dérivée de la fonction ln, primitives. Soit u une

TS
Ln u
Pré-requis: dérivée de la fonction ln, primitives.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Par utilisation de la formule de dérivation de la composée de deux fonctions: (ln o u)'=(ln' o u)u'
c'est à dire, en utilisant la définition de la composée: (ln(u))'=ln'(u)u'.
La dérivée de la fonction ln étant la fonction inverse, on a:
Propr: Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u)(=ln o u) est
u'
dérivable sur I et sa dérivée est ln  u '=
u
Ex: La dérivée de f définie sur ]-3; +∞[ par f(x)=ln(5x+15) est f 'x =
La dérivée de f définie sur [0; π] par f(x)=ln(sin x) est f 'x =
cos x
sin x
5
1
=
5x15 x3
.
.
Corollaire: Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u) est
u'
une primitive sur I de la fonction
.
u
! A bien avoir u' au numérateur !
Ex: . Une primitive sur ]2; +∞[ de la fonction f définie par f(x)=
1
est la fonction F définie par
5x−10
1
1 5
1 u ' x
ln 5x−10 . En effet, f(x)=
=
où u(x)=5x-10.
5
5 5x−10 5 u  x
4x−6
. Les primitives sur ℝ de la fonction f définie par f(x)=
sont les fonctions F définies par
x²−3x10
u 'x 
2x−3
=2
F(x)= 2ln x²−3x10k avec k réel. En effet, f(x)= 2 2
où u(x)=x²-3x+10.
u x 
x −3x10
F(x)=
Exercices: A]1)Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln(x²) de deux manières différentes.
2)Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln(e3x+1).
3)Dresser le tableau de variations de la fonction f définie par f(x)=ln(x²-5x+1).
2x 2−3
B]1)Déterminer la primitive de la fonction f définie sur [-2; 0] par f(x)=
2x 3−9x1
prenant la valeur 5 en 0.

2)Déterminer une primitive sur ℝ ∖ k  , k ∈set Z
de la fonction tangente.
2
2
3)Déterminer l'ensemble des primitives de la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f(x)=
.
x ln x
{
}