TS Pré-requis: dérivée de la fonction ln, primitives. Soit u une

Ln u TS
Pré-requis: dérivée de la fonction ln, primitives.
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
Par utilisation de la formule de dérivation de la composée de deux fonctions: (ln o u)'=(ln' o u)u'
c'est à dire, en utilisant la définition de la composée: (ln(u))'=ln'(u)u'.
La dérivée de la fonction ln étant la fonction inverse, on a:
Propr: Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u)(=ln o u) est
dérivable sur I et sa dérivée est
lnu'=u '
u
Ex: La dérivée de f définie sur ]-3; +∞[ par f(x)=ln(5x+15) est
f 'x= 5
5x15 =1 x3
.
La dérivée de f définie sur [0; π] par f(x)=ln(sin x) est
f 'x= cos x
sin x
.
Corollaire: Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln(u) est
une primitive sur I de la fonction
u '
u
.
! A bien avoir u' au numérateur !
Ex: . Une primitive sur ]2; +∞[ de la fonction f définie par f(x)=
1
5x−10
est la fonction F définie par
F(x)=
1
5ln5x−10
. En effet, f(x)=
1
5
5
5x−10 =1 5
u ' x
ux
où u(x)=5x-10.
. Les primitives sur ℝ de la fonction f définie par f(x)=
4x−6
x²−3x10
sont les fonctions F définies par
F(x)=
2ln x²−3x10k
avec k réel. En effet, f(x)=
22x−3
x2−3x10 =2u 'x
ux
où u(x)=x²-3x+10.
Exercices: A]1)Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln(x²) de deux manières différentes.
2)Calculer la dérivée de la fonction f définie sur ℝ par f(x)=ln(e3x+1).
3)Dresser le tableau de variations de la fonction f définie par f(x)=ln(x²-5x+1).
B]1)Déterminer la primitive de la fonction f définie sur [-2; 0] par f(x)=
2x2−3
2x3−9x1
prenant la valeur 5 en 0.
2)Déterminer une primitive sur
ℝ ∖
{
2k, k ∈set Z
}
de la fonction tangente.
3)Déterminer l'ensemble des primitives de la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f(x)=
2
x ln x
.