Primitives d`une fonction sur un intervalle

65Maths Tle ES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE ■
Calcul intégral 31
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
● On dit qu’une fonction
F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur
I et si, pour tout x de I,
● Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet
intervalle.
● Si
F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I, alors toutes les
primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur I par
où k désigne un nombre réel quelconque. (Les deux primitives F et G
diffèrent de la constante k .)
● Si est un élément de I et un réel quelconque, alors il existe une
primitive
F et une seule de f sur I telle que
● Soit f une fonction définie sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
( a et k désignent des nombres réels quelconques.)
Primitives d’une fonction
sur un intervalle
COURS
Définition et propriétés des primitives
Primitives des fonctions usuelles
Intervalle I
0 k
aax + k
 ( n  1)
ou
ou (
n  2)
F ′ x () fx ().=
Gx () Fx () k ,+=
x
0
y
0
Fx
0
() y
0.=
fx () Fx ()
x
n
n ,∈
1
n 1+
------------
x
n 1+
k +
]–∞ ; 0
[]0
; +
∞[
1
x
2
-----
–1
x
---
k
+
]–∞ ; 0
[]0
; +
∞[ 1
x
n
-----
n ,∈–1
n 1–() x
n 1–
-----------------------------
k
+
]0 ; +
∞[ 1
x
---
x ()ln k +
]0 ; +
∞[
1
x
--------
2 xk +
e
x
e
x
k +
© Bordas
Cliquez ici pour télécharger l’ouvrage complet.

■
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Maths T
le
ES
66
Calcul intégral
●
Si
F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors
une primitive de f + g sur I est F + G .
● Si λ est un nombre réel fixé et si
F est une primitive de f sur I, alors une
primitive de sur I est
● Le tableau suivant est obtenu à partir de la propriété de dérivation
d’une fonction composée.
Soit
u une fonction dérivable sur I de dérivée
Soit f et F les fonctions définies sur par :
et
Démontrer que F est une primitive de f sur .
Il suffit de vérifier que, pour tout
x de ,
F est un polynôme, donc une somme de fonctions dérivables sur
, et a
pour dérivée
Pour tout réel
x , donc F est une primitive de f sur .
Règles de calcul
Fonction
f
Une primitive de
f sur I
uu ′
( n ∈ , n 1)
()
(;
n ∈ , n 2)
()
()
EXERCICE
Énoncé
Résolution
λ f λ F .
u ′.
1
2
---
u
2
u
n
u ′1
n 1+
------------
u
n 1+
u ′
u
2
-----
u 0≠–1
u
----
u ′
u
n
------
u 0≠–1
n 1–() u
n 1–
------------------------------
u ′
u
-----
u 0 u ln
u ′
u
--------
u 02
u
u ′e
u
e
u
fx () 3 x
214
x 4–+=
Fx () x
37
x
24
x –9.++=
F ′ x () fx ().=
F ′ x () 3 x
214
x 4.–+=
F ′ x () fx (),=
© Bordas