Primitives d`une fonction sur un intervalle

Calcul intégral
Primitives d’une fonction
sur un intervalle
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COURS
© Bordas
Définition et propriétés des primitives
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
● On dit qu’une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur
I et si, pour tout x de I, F ′ ( x ) = f ( x ).
● Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet
intervalle.
● Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I, alors toutes les
primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur I par G ( x ) = F ( x ) + k ,
où k désigne un nombre réel quelconque. (Les deux primitives F et G
diffèrent de la constante k.)
● Si x 0 est un élément de I et y 0 un réel quelconque, alors il existe une
primitive F et une seule de f sur I telle que F ( x 0 ) = y 0 .
Primitives des fonctions usuelles
● Soit f une fonction définie sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
(a et k désignent des nombres réels quelconques.)
Intervalle I
f(x)
F(x)
0
k
a
ax + k
x n ( n ∈ , n 1)
1
------------ x n + 1 + k
n+1
]–∞ ; 0 [ ou ]0 ; + ∞[
1
----2x
1
– --- + k
x
]–∞ ; 0 [ ou ]0 ; + ∞[
1
----n- ( n ∈ , n 2)
x
1
-+k
– ---------------------------( n – 1 ) xn – 1
]0 ; + ∞[
1
--x
ln ( x ) + k
]0 ; + ∞[
1
-------x
2 x+k
ex
ex + k
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Calcul intégral
Règles de calcul
● Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors
une primitive de f + g sur I est F + G.
● Si λ est un nombre réel fixé et si F est une primitive de f sur I, alors une
primitive de λ f sur I est λ F .
Fonction f
Une primitive de f sur I
uu′
1 2
--- u
2
u n u ′ (n ∈ , n 1)
1
------------ u n + 1
n+1
u′
-----2 (u ≠ 0 )
u
1
– ---u
u′
-----n- (u ≠ 0 ; n ∈ , n 2)
u
1
– ----------------------------( n – 1 ) un – 1
u′
----- (u 0 )
u
ln u
u′
-------- (u 0 )
u
2 u
u ′e u
eu
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● Le tableau suivant est obtenu à partir de la propriété de dérivation
d’une fonction composée.
Soit u une fonction dérivable sur I de dérivée u ′.
EXERCICE
Énoncé
Soit f et F les fonctions définies sur par :
f ( x ) = 3 x 2 + 14 x – 4
et F ( x ) = x 3 + 7 x 2 – 4 x + 9.
Démontrer que F est une primitive de f sur .
Résolution
Il suffit de vérifier que, pour tout x de , F ′ ( x ) = f ( x ).
F est un polynôme, donc une somme de fonctions dérivables sur , et a
pour dérivée F ′ ( x ) = 3 x 2 + 14 x – 4.
Pour tout réel x, F ′ ( x ) = f ( x ), donc F est une primitive de f sur .
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