iintegrales primitives

Formulaire
4e Eco
Intégrales
Primitives
1) Définition
f étant une fonction continue sur un intervalle I.
On appelle intégrale de f entre a et b, le réel noté

b
a

f ( x)dx défini par :
b
a
f ( x)dx  [ F ( x)]ba  F (b)  F (a)
2) Propriétés
a
 f ( x)dx  0
 f ( x)dx    f ( x)dx
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx (Relation de Chasles)
 [ f ( x)   g ( x)]dx    f ( x)dx    g ( x)dx (Linéarité de l’intégrale)
a
b
a
c
a
c
a
b
b
c
a
b
a
b
c
a
b
3) Intégration par parties
u et v étant deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et a, b deux éléments de I
on a :

b
a
b
u ( x).v '( x) dx  [u ( x)v( x)]ba   u '( x).v( x) dx
a
4) Positivité
Si a < b et si f(x) ≥ 0
f(x) ≥ g(x)
Si a < b et si
pour tout x  [a,b] alors

pour tout x  [a,b] alors

b
a
b
a
f ( x)dx ≥ 0.
f ( x)dx 

b
a
g ( x)dx
5) Valeur moyenne
f étant une fonction définie et continue sur un intervalle I, a et b deux réels distincts de I, on
appelle valeur moyenne de f sur [a,b] et on notre f le réel :
1 b
F (b )  F ( a )
f 
f (t )dt 
b a
b a
Primitives
Fonction
Primitives
xn+1
n+1
xn , n ∈ N
1
, n ∈ N \ {0, 1}
xn
1
x
−
1
(n − 1)xn−1
Fonction
Primitives
fn+1
n+1
f ′ fn , n ∈ N
f′
, n ∈ N \ {0, 1}
fn
−
1
(n − 1)fn−1
fn+1
n 1
ln(x)
f ′ fn , n ∈ Z \ {−1}
x ,n∈Z
xn+1
n+1
f′
f
ln(f)
1
√
x
√
2 x
f′
√
f
√
2 f
ex
ex
f ′ ef
ef
n
∗