cours : fonctions logarithmes

COURS : FONCTIONS LOGARITHMES 1
A. Définition de la fonction logarithme népérien :
1. Définition : la fonction f(x)=
 admet des primitives sur  ; parmi
celles-ci, on choisit celle qui s’annule pour x=1 .
On appelle : ____________________________________________
la primitive de f(x)=
 qui s’annule pour x=1.On la note ln.
2. Conséquence : La fonction ln(x) est dérivable sur 
et pour tout x  0 :
___________________________________________________________
On définit le nombre e (nombre d’Euler) tel que ln(e) = 1.
3. Sens de variation, limites et courbe représentative :
Pour tout x >0 , ln ’(x)= 
 donc la fonction ln est strictement croissante sur
 .
On admettra que :  
    et 
D’où le tableau de variation :
x
0 1 + ∞
(lnx) ’ = 1
x
+
variations
de lnx
+ ∞
– ∞
Et la courbe représentative :
Il faut bien connaître
cette représentation
graphique.
On notera que la droite
d’équation x=0 est
asymptote « verticale » à
la courbe de ln(x).
 ln(1)=0
 ln(e)=1.
4. Propriétés :
Pour a  0 et b  0 :
___________________________________________________________
_________________________________________________________

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En particulier : ________________________________________________
____________________________________________________________
5. Exercices :
a) Calculer une dérivée où figure la fonction ln(x) :
Méthode :
1. On identifie la forme de f : somme , produit, inverse ou quotient …..
2. On calcule la dérivée de chacune des fonctions figurant dans l’expression de f.
3. On calcule f ’(x) en utilisant les résultats connus pour les opérations sur les
dérivées.
Exemple : Déterminer les dérivées de f(x)= ( x² – x )ln(x) et de g(x)=lnx
2x
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_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
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La fonction lnx permet de déterminer de nouvelles primitives :
Exemple :
1. Déterminer les primitives de f(x)= 2x – 
 .
_________________________________________________________
_________________________________________________________
2. Déterminer les primitives de g(x)=
 .
_________________________________________________________________
6. Relations fonctionnelles :
a) Logarithme d’un produit :
Pour a  0 et b  0 ; __________________________________________________
b) Logarithme d’un quotient :
Pour a  0 et b  0 ; _________________________________________________
c) Logarithme d’un inverse : ______________________________________
d) Logarithme d’une puissance : ____________________________________

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B. Enchainements de fonctions avec la fonction ln : f(x)=ln(u(x)).
1. Dérivée :
Propriété :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de  telle que pour tout x de I :
u(x) >0.
La fonction f définie sur I par f(x)=ln(u(x)) est dérivable et :
____________________________________________________________
Exemple : Soit la fonction f définie sur ] 2 ; + ∞[ par f(x) = ln(2x – 4 ).
____________________________________________________________
2. Limites:
Propriétés :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de  telle que pour tout x de I :
u(x)  0. a peut être égal à un réel ou à + ∞ ou à – ∞.
 Si lim
x →aux=0 , alors : _________________________________________
 Si lim
x →aux=+∞ alors : ________________________________________
 Si lim
x →aux=b , alors : _________________________________________
Exemples :
Déterminer les limites des fonctions f aux bornes de leur ensemble de définition.
f(x)=ln(3x – 9) ; I = ] 3 ; + ∞ [
____________________________________________________________
____________________________________________________________
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3. Primitives des fonctions de la forme 
 .
Propriété :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de  telle que pour tout x de I :
u(x) >0. Les primitives de la fonction f définie sur I par : f(x)= u'(x)
u(x) sont les
fonctions F de la forme :
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Exemple :
Déterminer les primitives de la fonction f définie sur  par f(x)= 2x
x² + 1 .
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