cours : fonctions logarithmes

COURS : FONCTIONS LOGARITHMES
1
A. Définition de la fonction logarithme népérien :
1. Définition : la fonction f(x)=
1
admet des primitives sur ]0 ; + ∞[ ; parmi
x
celles-ci, on choisit celle qui s’annule pour x=1 .
On appelle : ____________________________________________
la primitive de f(x)=
1
x
qui s’annule pour x=1.On la note ln.
2. Conséquence : La fonction ln(x) est dérivable sur ]0 ; + ∞[
et pour tout x  0 :
___________________________________________________________
On définit le nombre e (nombre d’Euler) tel que ln(e) = 1.
3. Sens de variation, limites et courbe représentative :
1
Pour tout x >0 , ln ’(x)=
donc la fonction ln est strictement croissante sur
x
]0 ; + ∞[ .
On admettra que : lim+ 𝑙𝑛𝑥 = −∞ et
lim 𝑙𝑛𝑥 = + ∞
𝑥→0
D’où le tableau de variation :
x
0
(lnx) ’ =
1
x
variations
de lnx
𝑥→+∞
1
+∞
+
+∞
–∞
Et la courbe représentative :
Il faut bien connaître
cette représentation
graphique.
On notera que la droite
d’équation x=0 est
asymptote « verticale » à
la courbe de ln(x).


ln(1)=0
ln(e)=1.
4. Propriétés :
Pour a  0 et b  0 :
___________________________________________________________
_________________________________________________________
2
En particulier : ________________________________________________
____________________________________________________________
5. Exercices :
a) Calculer une dérivée où figure la fonction ln(x) :
Méthode :
1.
On identifie la forme de f : somme , produit, inverse ou quotient …..
2.
On calcule la dérivée de chacune des fonctions figurant dans l’expression de f.
3.
On calcule f ’(x) en utilisant les résultats connus pour les opérations sur les
dérivées.
Exemple : Déterminer les dérivées de f(x)= ( x² – x )ln(x) et de g(x)=
lnx
2x
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
La fonction lnx permet de déterminer de nouvelles primitives :
Exemple :
3
1. Déterminer les primitives de f(x)= 2x – x .
_________________________________________________________
_________________________________________________________
1
5
2. Déterminer les primitives de g(x)= x +
x²
.
_________________________________________________________________
6. Relations fonctionnelles :
a) Logarithme d’un produit :
Pour a  0 et b  0 ; __________________________________________________
b) Logarithme d’un quotient :
Pour a  0 et b  0 ; _________________________________________________
c) Logarithme d’un inverse : ______________________________________
d) Logarithme d’une puissance : ____________________________________
3
B. Enchainements de fonctions avec la fonction ln : f(x)=ln(u(x)).
1. Dérivée :
Propriété :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ telle que pour tout x de I :
u(x) >0.
La fonction f définie sur I par f(x)=ln(u(x)) est dérivable et :
____________________________________________________________
Exemple : Soit la fonction f définie sur ] 2 ; + ∞[ par f(x) = ln(2x – 4 ).
____________________________________________________________
2. Limites:
Propriétés :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ telle que pour tout x de I :
u(x)  0.
a peut être égal à un réel ou à + ∞ ou à – ∞.

Si lim u(x)=0 , alors : _________________________________________

Si lim u(x)=+∞ alors : ________________________________________

Si lim u(x)=b , alors : _________________________________________
x →a
x →a
x →a
Exemples :
Déterminer les limites des fonctions f aux bornes de leur ensemble de définition.
f(x)=ln(3x – 9) ; I = ] 3 ; + ∞ [
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
3. Primitives des fonctions de la forme
u′
u
.
Propriété :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ telle que pour tout x de I :
u(x) >0. Les primitives de la fonction f définie sur I par : f(x)=
u'(x)
u(x)
sont les
fonctions F de la forme :
____________________________________________________________
Exemple :
Déterminer les primitives de la fonction f définie sur ℝ par f(x)=
2x
x² + 1
.
____________________________________________________________