Etude des fonctions d`une variable réelle et - MPSI

Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable réelle et premiers exemples
Au cours du premier chapitre, nous avons mené nos premières études de fonctions pour
démontrer des inégalités. Nous revenons ici sur le principe d’une telle étude avant de
présenter les premières fonctions usuelles : les fonctions logarithmes, exponentielles et puissances, ainsi que leurs propriétés.
1 Etude des fonctions d’une variable réelle
1.1 Première définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Plan d’étude d’une fonction d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Théorème de la bijection et bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
6
2 Les fonctions logarithmes
2.1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La fonction logarithme de base quelconque loga . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
3 Les fonctions exponentielles
3.1 La fonction exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 La fonction exponentielle de base quelconque expa . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
10
4 Les fonctions puissances
4.1 Définition et règles de calcul usuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
5 Les fonctions hyperboliques et leurs réciproques
5.1 Etude des fonctions hyperboliques et premières propriétés . . . . . . . . . . .
5.2 Expressions de leur réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
Importation d’une librairie et représentation des fonctions usuelles
Liste non exhaustive des capacités attendues
Comprendre la notion de limite d’une fonction d’une variable réelle · Calculer la limite d’une expression donnée, qu’elle soit composée ou non · Comprendre ce que
représente la régularité d’une fonction · Etudier la continuité et la dérivabilité d’une fonction en un point · Calculer la dérivée d’une fonction donnée, qu’elle soit
composée ou non · Mener une étude de fonction complète en précisant monotonie et comportement asymptotique · Comprendre la notion de bijection · Appliquer le
théorème de la bijection et en préciser les propriétés de la bijection réciproque · Connaı̂tre les fonctions logarithmes et leurs propriétés algébriques · Connaı̂tre les
fonctions exponentielles et leurs propriétés algébriques · Connaı̂tre les fonctions puissances et leurs propriétés algébriques · Connaı̂tre les fonctions hyperboliques et
leurs propriétés
(...)
Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable réelle et premiers exemples
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1
Etude des fonctions d’une variable réelle
1.1
Première définition
Définition On note R l’ensemble des nombres réels et on considère D une partie de R.
On dit que f est une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles si tout élément x ∈ D admet au plus une image y ∈ R de
sorte que y = f (x). En particulier, D désigne le domaine de définition de f et on pourra noter :
f : x ∈ D 7−→ f (x)
1.2
Plan d’étude d’une fonction d’une variable réelle
*** Domaine de définition
Définition Soit f une fonction définie sur D inclus dans R. On appelle donc domaine de définition l’ensemble défini par :
D = {x ∈ R, f (x) existe}
1
Exemple 1 On considère la fonction f : x 7→ p
avec (p, q) ∈ R2 . En précisant des conditions sur p et q, préciser son domaine
x2 + px + q
de définition qu’on notera D.
*** Parité et restriction du domaine d’étude
Définition Soit f une fonction définie sur D inclus dans R.
• On dit que f est une fonction paire si :
(
D est symétrique par rapport à 0
∀ x ∈ D, f (−x) = f (x)
(
D est symétrique par rapport à 0
∀ x ∈ D, f (−x) = −f (x)
• On dit que f est une fonction impaire si :
Exemple 2 Etudier la parité de la fonction f : x 7→ ln(
x−1
).
x+1
Représentation On peut observer que la représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées (Oy). De la même façon, la représentation graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à O, l’origine du
repère.
O
O
Ainsi, pour étudier de telles fonctions, il suffira de se restreindre au domaine D ∩ [0, +∞[, puis de compléter la courbe par une simple
symétrie.
*** Limites
Définition Soient f une fonction définie sur D inclus dans R et notons a, b ∈ R = R ∪ {±∞}. On dit que f (x) tend vers b quand x
tend vers a si pour tout voisinage V de b, il existe un voisinage autour de a pour lequel f (x) ∈ V :
O
Cette limite sera notée : limf = b ou encore lim f (x) = b.
a
x→a
Remarque Dans le cas où on ne s’intéresse qu’à la limite de f (x) quand x → a, x < a ou quand x → a, x > a, on parle de
limite à gauche ou de limite à droite.
2
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Propriété 1 (opérations sur les limites).
Pour calculer la limite d’une fonction, on sera souvent amené à utiliser ces règles de calcul qu’on démontrera dans un prochain chapitre,
et dont on retiendra les formes indéterminées :
(i) soient `, `0 ∈ R,
si f a pour limite
si g a pour limite
alors f + g a pour limite
`
`0
` + `0
`
+∞
+∞
`
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
F.I.
(ii) soient `, `0 ∈ R,
si f a pour limite
si g a pour limite
alors f g a pour limite
`
`0
``0
`>0
+∞
+∞
`>0
−∞
−∞
`<0
+∞
−∞
`<0
−∞
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
−∞
+∞
0
+∞ ou − ∞
F.I.
(iii) soient `, `0 ∈ R, `0 6= 0,
si f a pour limite
si g a pour limite
f
alors
a pour limite
g
`
`0
`
`0
`
+∞ ou − ∞
+∞
`0 > 0
−∞
`0 > 0
+∞
`0 < 0
−∞
`0 < 0
+∞ ou − ∞
+∞ ou − ∞
0
+∞
−∞
−∞
+∞
F.I.
Et dans le cas particulier où `0 est nul,
si f a pour limite
si g a pour limite
f
alors
a pour limite
g
`>0
0+
`>0
0−
`<0
0+
`<0
0−
0
0
+∞
−∞
−∞
+∞
F.I.
Exemple 3 Calculer la limite quand x → +∞ des fonctions suivantes: f : x 7→
1
x
4
x
x2 −
1−
1
, g : x 7→
qx
2− 4−
.
1
x
Remarque On retiendra que pour lever l’indétermination, on peut éventuellement transformer l’expression algébrique donnée :
développement, factorisation, multiplication par la quantité conjuguée...
Propriété 2 (limite d’une fonction composée).
Soient a, b, c ∈ R et f, g deux fonctions pour lesquelles on suppose lim f (x) = b et lim g(x) = c. Alors, sous réserve d’existence, la
x→a
x→b
fonction composée g ◦ f vérifie :
lim g ◦ f (x) = c
x→a
Cette dernière propriété nous permet alors de justifier la recherche d’une limite par changement de variable ; on ne s’intéresse plus à la
limite de g ◦ f (x) quand x → a, mais de g(X) quand X → b.
Exemple 4 Calculer la limite quand x → 0 de la fonction f : x 7→
ln2 (x) + 2 ln(x)
.
ln2 (x) + 1
*** Régularité : continuité et dérivabilité
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I inclus dans R. On dit que f est continue sur I si en tout point a ∈ I, la
limite de f (x) existe et vérifie :
lim f (x) = f (a)
x→a
On dit aussi que f est de classe C 0 sur I.
Remarques
1. Graphiquement, une fonction continue est représentée par un tracé continu.
2. Bien entendu, si on ne s’intéresse qu’à la limite à gauche ou à droite, on précisera que f est continue à gauche ou à droite
en a. Par exemple :
3
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O
O
Propriété 3 (caractérisation de la continuité en un point).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Alors, f est continue en a si et seulement si f est continue à gauche et à droite
de a. Et dans ce cas,
lim f (x) = f (a) =
lim f (x)
x→a,x<a
x→a,x>a
La plupart du temps, les fonctions données sont continues sur leur domaine de définition : c’est le cas des fonctions polynomiales et
rationnelles. Lorsqu’elles ne sont pas définies en un point, on pourra éventuellement les prolonger par continuité en imposant la valeur
manquante.
Exemple 5 Etudier la continuité de la fonction f : x 7→ √
x
.
x+1−1
Propriété 4 (opérations sur les fonctions continues).
Soient f, g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I. Alors, f + g, f g ou sous réserve d’existence
continues sur I.
f
g
et g ◦ f sont encore
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I inclus dans R. On dit que f est dérivable sur I si en tout point a ∈ I, le
f (x) − f (a)
admet une limite finie quand x tend vers a.
x−a
df
(a).
Dans ce cas, cette limite sera appelée nombre dérivé de f en a et elle sera notée f 0 (a) ou
dx
taux d’accroissement
Représentation Fixons a ∈ I et considérons x ∈ I, on note A(a, f (a)) et M (x, f (x)) un point courant. Le taux d’accroissement
désigne alors le coefficient directeur de la corde (AM ) :
O
La fonction f est dérivable en a si la corde admet une position limite quand x tend vers a : la tangente au point A. Ainsi, f 0 (a), le
nombre dérivé, n’est rien d’autre que le coefficient directeur de la tangente en a qui a pour équation :
Ta : y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
Remarque Bien entendu, si on ne s’intéresse qu’à la limite à gauche ou à droite, on précisera que f est dérivable à gauche ou à
droite en a.
Propriété 5 (caractérisation de la dérivabilité en un point).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Alors, f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à
droite de a avec :
f (x) − f (a)
f (x) − f (a)
lim
=
lim
x→a,x<a
x→a,x>a
x−a
x−a
4
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Propriété 6 (opérations sur les fonctions dérivables).
Soient f, g deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.
(i) La somme f + g est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I, (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x).
(ii) Le produit f g est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I, (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
(iii) Sous réserve d’existence, le quotient
1
1
−g 0 (x)
est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I, ( )0 (x) =
.
g
g
(g(x))2
(iv) Sous réserve d’existence, le quotient
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f
est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I, ( )0 (x) =
.
g
g
(g(x))2
√
Exemple 6 Etudier la dérivabilité de la fonction f : x 7→ x x, puis calculer f 0 (x).
Propriété 7 (dérivabilité d’une fonction composée).
Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur un intervalle J, telles que f (I) ⊂ J.
Alors la fonction g ◦ f est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I :
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) × f 0 (x)
Exemple 7 Etudier la régularité de la fonction f définie sur R par f (x) =
p
|4 − x|.
Propriété 8 (relation entre continuité et dérivabilité).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et qu’on suppose dérivable. Alors f est continue sur I.
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I inclus dans R. On dit plus généralement que f est de classe C k sur I si
elle admet k dérivées successives et que sa dérivée k-ième, notée f (k) est encore continue sur I.
Remarque La plupart du temps, les fonctions données sont parfaitement dérivables sur leur domaine de définition : c’est le cas
des fonctions polynomiales et rationnelles qui sont même indéfiniment dérivables, on dit aussi qu’elles sont de classe C ∞ .
*** Monotonie
Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
• On dit que f est croissante sur I si pour tous x, y ∈ I, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
• On dit que f est décroissante sur I si pour tous x, y ∈ I, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y).
• On dit que f est monotone sur I si f est croissante ou décroissante sur I.
Remarque Si les inégalités sont strictes, on précisera notre propos en disant que f est strictement monotone.
Théorème 9 (caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I qu’on suppose dérivable sur I. Alors les variations de f dépendent du signe de sa dérivée
de sorte que :
(i) f est croissante sur I si et seulement si pour tout x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0.
(ii) f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0.
(iii) f est constante sur I si et seulement si pour tout x ∈ I, f 0 (x) = 0.
Si les études de fonctions nous permettent d’illustrer avant tout des phénomènes d’évolution, elles nous permettront aussi de démontrer
certaines inégalités.
Exemple 8 Montrer que pour tout x ∈ R,
x2 −
x4
≤ ln(1 + x2 ) ≤ x2
2
5
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*** Représentation graphique et comportement asymptotique
Définition On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,~i, ~j), et on note f une fonction définie sur D inclus dans R.
• On rappelle que la courbe représentative de f désigne l’ensemble des points M (x, f (x)), x ∈ D}.
• Dans le cas particulier où la distance OM tend vers l’infini, on dit que la courbe Cf associée présente une branche infinie.
Propriété 10 (étude des branches infinies).
Soient a, b, m, p ∈ R.
(i) Si lim f (x) = ±∞, alors Cf admet une asymptote verticale d’équation x = a.
x→a
(ii) Si
(iii) Si
lim f (x) = b, alors Cf admet une asymptote horizontale d’équation y = b.
x→±∞
lim f (x) = ±∞, on étudie la limite du rapport
x→±∞
• si
• si
• si
f (x)
x
:
lim
f (x)
= ±∞, alors Cf admet une branche parabolique de direction (Oy) ;
x
lim
f (x)
= 0, alors Cf une branche parabolique de direction (Ox) ;
x
lim
f (x)
= m, on étudie enfin la limite de la différence f (x) − mx :
x
x→±∞
x→±∞
x→±∞
- si
- si
lim f (x) − mx = ±∞, alors Cf admet une branche parabolique de direction la droite d’équation y = mx ;
x→±∞
lim f (x) − mx = p, alors Cf admet une asymptote oblique d’équation y = mx + p.
x→±∞
De toute cette première partie, on pourra retenir le plan d’étude d’une fonction d’une variable réelle :
1. Domaine de définition
2. Parité et restriction du domaine d’étude
3. Monotonie
Sans oublier, avant de tracer la courbe représentative, d’en préciser :
4. les limites et branches infinies aux bornes du domaine de définition
5. la régularité aux points particuliers : continuité et dérivabilité
Exemple 9 Etudier, puis représenter la fonction f : x 7→
1.3
√
x2 − 1.
Théorème de la bijection et bijection réciproque
Théorème 11 (de la bijection).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I qu’on suppose continue et strictement monotone sur I. Alors J = f (I) est encore un
intervalle, et f réalise une bijection de I sur J. C’est à dire que :
∀ y ∈ J, ∃! x ∈ I, y = f (x)
Représentation Les hypothèses de continuité et de stricte monotonie sont des conditions suffisantes pour obtenir une telle bijection;
l’une permettant d’assurer l’existence d’un antécédent, l’autre donnant l’unicité de celui-ci.
O
En particulier, on retiendra qu’on peut restreindre l’intervalle de départ pour rendre notre application bijective.
6
Chapitre 2
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Exemple 10
1. Montrer qu’il existe une unique solution α ∈ ]0, +∞[ à l’équation x ln(x) − 1 = 0.
2. En déduire une valeur approchée par défaut de α à 0, 1 près.
Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I qu’on suppose bijective de I sur J = f (I).
On appelle alors bijection réciproque la fonction notée f −1 qui à tout y ∈ J associe son unique antécédent x ∈ I par f , de sorte
que :
(
(
f −1 (y) = x
y = f (x)
⇔
y∈J
x∈I
Propriété 12 (de la bijection réciproque).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I qu’on suppose continue et strictement monotone sur I. Alors f réalise une bijection de
I sur J = f (I), et sa bijection réciproque vérifie :
(i) pour tout (x, y) ∈ I × J, f −1 ◦ f (x) = x et f ◦ f −1 (y) = y.
(ii) dans un repère orthonormé, les courbes représentatives Cf et Cf −1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice
d’équation y = x.
(iii) f −1 est elle-même continue sur J, strictement monotone sur J et de même sens de variations que f .
Théorème 13 (cas particulier de la dérivabilité).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I qu’on suppose dérivable et strictement monotone sur I, et telle que sa dérivée ne s’annule
pas sur I. Alors f réalise une bijection de I sur J = f (I), et sa bijection réciproque est dérivable sur J de sorte que :
∀ y ∈ J, (f −1 )0 (y) =
1
f 0 ◦ f −1 (y)
Exemple 11 On note f la fonction définie sur R par f (x) = x2 .
1. Etudier et représenter f .
2. En déduire qu’il existe une unique fonction g telle que pour tout x ∈ [0, +∞[, g ◦ f (x) = x.
3. g désigne en fait la fonction racine carrée. Retrouver alors ses différentes caractéristiques.
Remarques Pour tout n ∈ N, on note fn : x ∈ R 7→ xn .
1. On rappelle que par convention f0 = 1 ⇔ ∀ x ∈ R, x0 = 1.
2. Si on étudie la fonction fn : x 7→ xn sur un domaine I bien choisi, on montre qu’elle réalise une bijection et on peut ainsi définir
1
la racine n-ième d’un nombre réel (n ∈ N∗ ) en posant: fn−1 : x ∈ J 7→ x n .
2
Les fonctions logarithmes
2.1
La fonction logarithme népérien
Définition On appelle fonction logarithme népérien la fonction ln définie comme l’unique primitive de x 7→
en 1. C’est à dire :

Z x
∀ x ∈ R∗ , ln0 (x) = 1
1
∗
+
∀ x ∈ R+ , ln(x) =
dt , ou plus simplement,
.
x
ln(1) = 0
1 t
1
x
sur R∗+ qui s’annule
Propriété 14 (propriétés algébriques).
Soient a, b ∈ R∗+ . Alors, on a :
(i) ln(ab) = ln(a) + ln(b).
(ii) ln( 1b ) = − ln(b), et donc ln( ab ) = ln(a) − ln(b).
(iii) Pour tout r ∈ Q, ln(ar ) = r ln(a).
I On commence par démontrer la première égalité en étudiant une fonction d’une seule variable, puis on utilise celle-ci pour aller
chercher les autres propriétés.
7
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Remarque Dans le reste du cours, on admettra que ce résultat peut être étendu aux nombres réels :
∀ x ∈ R, ln(ax ) = x ln(a)
Propriété 15 (limites de référence).
On a :
(i)
lim ln(x) = +∞
x→+∞
(ii) lim ln(x) = −∞
x→0
(iii) lim
x→1
ln(x)
=1
x−1
(iv) lim
x→0
ln(1 + x)
=1
x
I Pour la première limite, on admet l’existence de cette limite dans R et on raisonnera par l’absurde pour démontrer que cette
limite est +∞ ; les autres s’obtiennent astucieusement que ce soit en utilisant un changement de variable, ou en reconnaissant un
taux d’accroissement.
Théorème 16 (monotonie et comportement asymptotique).
(i) La fonction ln est continue et strictement croissante sur R∗+ : elle réalise une bijection de R∗+ sur R.
(ii) Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative admet deux branches infinies : une asymptote verticale d’équation x = 0
et une branche parabolique de direction (Ox).
√
I Seul le dernier point semble délicat; pour cela, il nous suffit d’étudier la fonction x 7→ ln(x) − 2( x − 1) avant de passer à la limite
dans une inégalité bien choisie...
Représentation On obtient la représentation graphique de la fonction ln :
O
En particulier, on pourra retenir le signe de cette fonction : elle est négative sur ]0, 1] et positive sur [1, +∞[.
Dans une preuve précédente, nous avons vu comment démontrer une propriété algébrique en faisant intervenir une fonction d’une seule
variable. Nous allons procéder de la même façon pour résoudre une première équation fonctionnelle.
Exemple 12 Déterminer l’ensemble des fonctions f dérivables sur R∗+ qui vérifient pour tous a, b ∈ R∗+ :
f (ab) = f (a) + f (b)
2.2
La fonction logarithme de base quelconque loga
Définition Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[.
On appelle fonction logarithme de base a la fonction notée loga définie sur R∗+ par :
loga (x) =
3
3.1
1
ln(x)
ln(a)
Les fonctions exponentielles
La fonction exponentielle népérienne
Définition On rappelle que la fonction ln réalise une bijection de R∗+ sur R. On appelle alors fonction exponentielle népérienne
sa bijection réciproque notée exp telle que :
(
(
y = ln(x)
exp(y) = x
⇔
x ∈ R∗+
y∈R
8
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Corollaire 17.
On en déduit immédiatement :
(i) exp(0) = 1. De plus, pour tout x ∈ R, ln ◦ exp(x) = x et pour tout x ∈ R∗+ , exp ◦ ln(x) = x.
(ii) La fonction exp est également continue et strictement croissante sur R. De plus, elle est dérivable sur R et pour tout x ∈ R,
exp0 (x) = exp(x).
I Il suffit de faire appel aux différentes propriétés de la bijection réciproque...
Propriété 18 (propriétés algébriques).
Soient a, b ∈ R. Alors, on a :
(i) exp(a + b) = exp(a) exp(b).
(ii) exp(−b) =
1
,
exp(b)
et donc exp(a − b) =
exp(a)
.
exp(b)
(iii) Pour tout r ∈ Q, exp(ra) = (exp(a))r .
I On commence par prouver la première égalité en faisant intervenir les propriétés de sa bijection réciproque ln, puis on utilise
celle-ci pour aller chercher les autres propriétés.
Remarque La dernière assertion nous donne en particulier : ∀ r ∈ Q, exp(r) = exp(r.1) = (exp(1))r .
Ainsi, en posant e = exp(1), on est ramené à écrire : exp(r) = er . Dans le reste du cours, on choisira d’étendre cette notation puissance
aux nombres réels :
∀ x ∈ R, exp(x) = ex
Propriété 19 (limites de référence).
On a :
(i)
lim ex = +∞
x→+∞
(ii)
lim ex = 0
x→−∞
(iii) lim
x→0
ex − 1
=1
x
I Les deux premières limites sont obtenues par définition de la fonction exponentielle comme bijection réciproque du logarithme, et
dans la dernière, on reconnaı̂tra aisément un taux d’accroissement.
Théorème 20 (monotonie et comportement asymptotique).
(i) La fonction exp est continue et strictement croissante sur R : elle réalise une bijection de R sur R∗+ .
(ii) Dans un repère orthonormé, sa courbe représentative admet deux branches infinies: une asymptote horizontale d’équation y = 0
et une branche parabolique de direction (Oy).
I Une fois encore, tout découle des propriétés de la bijection réciproque, dont le tracé s’obtient par symétrie par rapport à la première
bissectrice.
Représentation On obtient la représentation graphique de la fonction exp :
O
En particulier, on pourra retenir le signe de cette fonction : elle est strictement positive sur R.
9
Chapitre 2
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En physique, de nombreux systèmes se ramènent à la résolution d’une équation différentielle, c’est à dire une équation reliant une
fonction et certaines de ses dérivées. Par exemple, on considère l’équation différentielle du premier ordre :
y 0 = ay , avec a ∈ R
Exemple 13 Déterminer l’ensemble des fonctions f dérivables sur R qui vérifient pour tout t ∈ R :
f 0 (t) = af (t) , avec a ∈ R
3.2
La fonction exponentielle de base quelconque expa
Définition Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[.
On appelle fonction exponentielle de base a la fonction notée expa définie sur R par :
expa (x) = ax = ex ln(a)
Propriété 21 (bijections réciproques).
Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[. Les fonctions loga et expa sont des bijections réciproques l’une de l’autre.
I On peut procéder de différentes façons : soit en partant d’une égalité de la forme y = loga (x), x ∈ R∗+ , soit en explicitant les
fonctions composées loga ◦ expa et expa ◦ loga ...
4
Les fonctions puissances
4.1
Définition et règles de calcul usuel
Définition Soit α ∈ R. On appelle fonction puissance d’exposant réel α la fonction f définie sur R∗+ par :
f (x) = xα = eα ln(x)
Propriété 22 (monotonie et comportement asymptotique).
Soit α ∈ R∗ .
(i) La fonction puissance d’exposant α est continue et dérivable sur R∗+ , strictement monotone sur R∗+ et sa monotonie dépend du
signe de α.
(ii) Si α > 0, alors limx→+∞ xα = +∞ et limx→0 xα = 0.
Si α < 0, alors limx→+∞ xα = 0 et limx→0 xα = +∞.
Propriété 23 (règles de calcul).
On a pour tous x, y > 0, α, β ∈ R :
(i) xα+β = xα xβ
(ii) (xα )β = xαβ
(iii) (xy)α = xα y α
(iv)
1
= x−α
xα
I Il suffit encore une fois de se ramener à la première définition et d’utiliser les propriétés algébriques de la fonction exp.
Plus généralement, on peut remarquer que si une fonction nous est donnée sous la forme u(x)v(x) , on veillera à chaque fois à se ramener à
une écriture exponentielle pour en simplifier l’étude.
1
Exemple 14 Etudier, puis représenter la fonction: x 7→ x x .
4.2
Croissances comparées
Propriété 24 (croissances comparées).
Pour lever certaine indétermination, il est très pratique de connaı̂tre le comportement asymptotique des fonctions usuelles les unes par
rapport aux autres. On parle de croissances comparées :
Pour tous α, β > 0,
(i)
lim
x→+∞
(ln(x))α
=0
xβ
(ii) lim xβ | ln(x)|α = 0
x→0
(iii)
lim
x→+∞
(ex )α
= +∞
xβ
(iv)
lim |x|β (ex )α = 0
x→−∞
10
Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable réelle et premiers exemples
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
I On utilise les limites usuelles du logarithme et de la fonction exponentielle pour aller chercher les autres limites par changement
de variable ou transformation algébrique.
5
Les fonctions hyperboliques et leurs réciproques
5.1
Etude des fonctions hyperboliques et premières propriétés
On introduit ici les fonctions hyperboliques comme les parties paire et impaire de la fonction exponentielle, ce qui nous permettra de voir
notre premier raisonnement par analyse-synthèse.
Exemple 15 Soit f une fonction définie sur R tout entier. Montrer qu’il existe de façon unique une fonction g paire et une fonction h
impaire définies sur R telles que : ∀ x ∈ R, f (x) = g(x) + h(x).
Définition
• On appelle alors fonction cosinus hyperbolique et fonction sinus hyperbolique les parties paire et impaire de la fonction
exponentielle définies par :
∀ x ∈ R, ch(x) =
ex − e−x
ex + e−x
et ∀ x ∈ R, sh(x) =
2
2
• De plus, on définit la fonction tangente hyperbolique sur R par : ∀ x ∈ R, th(x) =
sh(x)
.
ch(x)
Remarque En particulier, ch est paire, sh est impaire et elles vérifient pour tout x ∈ R :
ex = ch(x) + sh(x) et e−x = ch(x) − sh(x)
Propriété 25 (étude de la fonction ch).
La fonction ch est continue et dérivable sur R telle que pour tout x ∈ R, ch0 (x) = sh(x). On en déduit ses variations :
x
0
1
1
+
+
h(x)
et donc par parité,
1
O
I Il s’agit d’une simple étude de fonction exponentielle qu’on mènera avec soin : domaine de définition, parité...
Propriété 26 (étude de la fonction sh).
La fonction sh est continue et dérivable sur R telle que pour tout x ∈ R, sh0 (x) = ch(x). On en déduit ses variations :
x
0
1
1
+
+
sh(x)
et donc par imparité,
0
O
Propriété 27 (étude de la fonction th).
La fonction th est continue et dérivable sur R telle que pour tout x ∈ R, th0 (x) =
x
0
0
= 1 − th2 (x). On en déduit ses variations :
1
+
1
th(x)
1
ch2 (x)
et donc par imparité,
O
11
Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable réelle et premiers exemples
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
Propriété 28 (formulaire hyperbolique).
Soient x, a, b ∈ R. Alors on a :
(i) ch2 (x) − sh2 (x) = 1
(ii) ch(a + b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b), ch(a − b) = ch(a)ch(b) − sh(a)sh(b),
sh(a + b) = sh(a)ch(b) + sh(b)ch(a), sh(a − b) = sh(a)ch(b) − sh(b)ch(a)
(iii) En particulier, ch(2x) = ch2 (x) + sh2 (x) = 2ch2 (x) − 1 = 1 + 2sh2 (x), sh(2x) = 2ch(x)sh(x)
I Il suffit de se ramener à la définition des fonctions ch et sh.
5.2
Expressions de leur réciproques
Propriété 29 (existence de la fonction argch).
La fonction ch réalise une bijection de R+ sur [1, +∞[ et admet ainsi une bijection réciproque notée argch définie sur [1, +∞[ telle
que:
(
(
argch(y) = x
y = ch(x)
⇔
y ∈ [1, +∞[
x ∈ R+
De plus,
(i) argch est dérivable sur ]1, +∞[ et pour tout x ∈]1, +∞[, argch0 (x) = √
(ii) on a pour tout x ∈ [1, +∞[, argch(x) = ln(x +
√
1
x2 − 1
.
x2 − 1).
I On utilise les propriétés établies précédemment sur les bijections et leur réciproque. Pour le dernier point, on pourra encore
procéder de deux façons : soit en vérifiant l’expression donnée, soit en partant de y = ch(x) afin d’exprimer x en fonction de y.
Propriété 30 (existence de la fonction argsh).
La fonction sh réalise une bijection de R sur R et admet ainsi une bijection réciproque notée argsh définie sur R telle que:
(
(
y = sh(x)
argsh(y) = x
⇔
x∈R
y∈R
De plus,
(i) argsh est dérivable sur R et pour tout x ∈ R, argsh0 (x) = √
(ii) on a pour tout x ∈ R, argsh(x) = ln(x +
√
1
x2 + 1
.
x2 + 1).
Propriété 31 (existence de la fonction argth).
La fonction th réalise une bijection de R sur ] − 1, 1[ et admet ainsi une bijection réciproque notée argth définie sur ] − 1, 1[ telle que:
(
(
y = th(x)
argth(y) = x
⇔
x∈R
y ∈] − 1, 1[
De plus,
(i) argth est dérivable sur ] − 1, 1[ et pour tout x ∈] − 1, 1[, argth0 (x) =
(ii) on a pour tout x ∈] − 1, 1[, argth(x) =
1
.
1 − x2
1
1+x
ln(
).
2
1−x
12