Etude des fonctions d`une variable réelle et - MPSI

Etude des fonctions d’une variable r´eelle et premiers exemples
Chapitre 2
Au cours du premier chapitre, nous avons men´e nos premi`eres ´etudes de fonctions pour
d´emontrer des in´egalit´es. Nous revenons ici sur le principe d’une telle ´etude avant de
pr´esenter les premi`eres fonctions usuelles : les fonctions logarithmes, exponentielles et puis-
sances, ainsi que leurs propri´et´es.
1 Etude des fonctions d’une variable r´eelle 2
1.1 Premi`ere d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Plan d’´etude d’une fonction d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Th´eor`eme de la bijection et bijection r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Les fonctions logarithmes 7
2.1 La fonction logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 La fonction logarithme de base quelconque loga................. 8
3 Les fonctions exponentielles 8
3.1 La fonction exponentielle n´ep´erienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 La fonction exponentielle de base quelconque expa............... 10
4 Les fonctions puissances 10
4.1 D´efinition et r`egles de calcul usuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Croissances compar´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Les fonctions hyperboliques et leurs r´eciproques 11
5.1 Etude des fonctions hyperboliques et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 11
5.2 Expressions de leur r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Importation d’une librairie et repr´esentation des fonctions usuelles
Liste non exhaustive des capacit´es attendues
Comprendre la notion de limite d’une fonction d’une variable r´eelle ·Calculer la limite d’une expression donn´ee, qu’elle soit compos´ee ou non ·Comprendre ce que
repr´esente la r´egularit´e d’une fonction ·Etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e d’une fonction en un point ·Calculer la d´eriv´ee d’une fonction donn´ee, qu’elle soit
compos´ee ou non ·Mener une ´etude de fonction compl`ete en pr´ecisant monotonie et comportement asymptotique ·Comprendre la notion de bijection ·Appliquer le
th´eor`eme de la bijection et en pr´eciser les propri´et´es de la bijection r´eciproque ·Connaˆıtre les fonctions logarithmes et leurs propri´et´es alg´ebriques ·Connaˆıtre les
fonctions exponentielles et leurs propri´et´es alg´ebriques ·Connaˆıtre les fonctions puissances et leurs propri´et´es alg´ebriques ·Connaˆıtre les fonctions hyperboliques et
leurs propri´et´es (...)

MPSI - Lyc´ee Chrestien de Troyes
Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable r´eelle et premiers exemples
1 Etude des fonctions d’une variable r´eelle
1.1 Premi`ere d´efinition
D´efinition On note Rl’ensemble des nombres r´eels et on consid`ere Dune partie de R.
On dit que fest une fonction d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles si tout ´el´ement x∈Dadmet au plus une image y∈Rde
sorte que y=f(x). En particulier, Dd´esigne le domaine de d´efinition de fet on pourra noter :
f:x∈D7−→ f(x)
1.2 Plan d’´etude d’une fonction d’une variable r´eelle
*** Domaine de d´efinition
D´efinition Soit fune fonction d´efinie sur Dinclus dans R. On appelle donc domaine de d´efinition l’ensemble d´efini par :
D={x∈R, f(x) existe}
Exemple 1 On consid`ere la fonction f:x7→ 1
px2+px +qavec (p, q)∈R2. En pr´ecisant des conditions sur pet q, pr´eciser son domaine
de d´efinition qu’on notera D.
*** Parit´e et restriction du domaine d’´etude
D´efinition Soit fune fonction d´efinie sur Dinclus dans R.
•On dit que fest une fonction paire si :
(Dest sym´etrique par rapport `a 0
∀x∈D, f (−x) = f(x)
•On dit que fest une fonction impaire si :
(Dest sym´etrique par rapport `a 0
∀x∈D, f (−x) = −f(x)
Exemple 2 Etudier la parit´e de la fonction f:x7→ ln( x−1
x+ 1 ).
Repr´esentation On peut observer que la repr´esentation graphique d’une fonction paire est sym´etrique par rapport `a l’axe des
ordonn´ees (Oy). De la mˆeme fa¸con, la repr´esentation graphique d’une fonction impaire est sym´etrique par rapport `a O, l’origine du
rep`ere.
O O
Ainsi, pour ´etudier de telles fonctions, il suffira de se restreindre au domaine D∩[0,+∞[, puis de compl´eter la courbe par une simple
sym´etrie.
*** Limites
D´efinition Soient fune fonction d´efinie sur Dinclus dans Ret notons a, b ∈R=R∪ {±∞}. On dit que f(x) tend vers bquand x
tend vers asi pour tout voisinage Vde b, il existe un voisinage autour de apour lequel f(x)∈V:
O
Cette limite sera not´ee : lim
af=bou encore lim x→af(x) = b.
Remarque Dans le cas o`u on ne s’int´eresse qu’`a la limite de f(x) quand x→a,x < a ou quand x→a,x > a, on parle de
limite `a gauche ou de limite `a droite.
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Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable r´eelle et premiers exemples
Pour calculer la limite d’une fonction, on sera souvent amen´e `a utiliser ces r`egles de calcul qu’on d´emontrera dans un prochain chapitre,
et dont on retiendra les formes ind´etermin´ees :
(i) soient `, `0∈R,
si fa pour limite ` ` ` +∞ −∞ +∞
si ga pour limite `0+∞ −∞ +∞ −∞ −∞
alors f+ga pour limite `+`0+∞ −∞ +∞ −∞ F.I.
(ii) soient `, `0∈R,
si fa pour limite ` ` > 0` > 0` < 0` < 0 +∞+∞ −∞ 0
si ga pour limite `0+∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ou − ∞
alors fg a pour limite ``0+∞ −∞ −∞ +∞+∞ −∞ +∞F.I.
(iii) soient `, `0∈R, `06= 0,
si fa pour limite ` ` +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ou − ∞
si ga pour limite `0+∞ou − ∞ `0>0`0>0`0<0`0<0 +∞ou − ∞
alors f
ga pour limite ` `00 +∞ −∞ −∞ +∞F.I.
Et dans le cas particulier o`u `0est nul,
si fa pour limite ` > 0` > 0` < 0` < 0 0
si ga pour limite 0+ 0−0+ 0−0
alors f
ga pour limite +∞ −∞ −∞ +∞F.I.
Propri´et´e 1 (op´erations sur les limites).
Exemple 3 Calculer la limite quand x→+∞des fonctions suivantes: f:x7→ x2−1
x
1−x4,g:x7→
1
x
2−q4−1
x
.
Remarque On retiendra que pour lever l’ind´etermination, on peut ´eventuellement transformer l’expression alg´ebrique donn´ee :
d´eveloppement, factorisation, multiplication par la quantit´e conjugu´ee...
Soient a, b, c ∈Ret f, g deux fonctions pour lesquelles on suppose lim
x→af(x) = bet lim
x→bg(x) = c. Alors, sous r´eserve d’existence, la
fonction compos´ee g◦fv´erifie :
lim
x→ag◦f(x) = c
Propri´et´e 2 (limite d’une fonction compos´ee).
Cette derni`ere propri´et´e nous permet alors de justifier la recherche d’une limite par changement de variable ; on ne s’int´eresse plus `a la
limite de g◦f(x) quand x→a, mais de g(X) quand X→b.
Exemple 4 Calculer la limite quand x→0 de la fonction f:x7→ ln2(x) + 2 ln(x)
ln2(x)+1 .
*** R´egularit´e : continuit´e et d´erivabilit´e
D´efinition Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iinclus dans R. On dit que fest continue sur Isi en tout point a∈I, la
limite de f(x) existe et v´erifie :
lim
x→af(x) = f(a)
On dit aussi que fest de classe C0sur I.
Remarques
1. Graphiquement, une fonction continue est repr´esent´ee par un trac´e continu.
2. Bien entendu, si on ne s’int´eresse qu’`a la limite `a gauche ou `a droite, on pr´ecisera que fest continue `a gauche ou `a droite
en a. Par exemple :
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Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable r´eelle et premiers exemples
O O
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iet a∈I. Alors, fest continue en asi et seulement si fest continue `a gauche et `a droite
de a. Et dans ce cas,
lim
x→a,x<a f(x) = f(a) = lim x→a,x>a f(x)
Propri´et´e 3 (caract´erisation de la continuit´e en un point).
La plupart du temps, les fonctions donn´ees sont continues sur leur domaine de d´efinition : c’est le cas des fonctions polynomiales et
rationnelles. Lorsqu’elles ne sont pas d´efinies en un point, on pourra ´eventuellement les prolonger par continuit´e en imposant la valeur
manquante.
Exemple 5 Etudier la continuit´e de la fonction f:x7→ x
√x+ 1 −1.
Soient f, g deux fonctions d´efinies et continues sur un intervalle I. Alors, f+g,f g ou sous r´eserve d’existence f
get g◦fsont encore
continues sur I.
Propri´et´e 4 (op´erations sur les fonctions continues).
D´efinition Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iinclus dans R. On dit que fest d´erivable sur Isi en tout point a∈I, le
taux d’accroissement f(x)−f(a)
x−aadmet une limite finie quand xtend vers a.
Dans ce cas, cette limite sera appel´ee nombre d´eriv´e de fen aet elle sera not´ee f0(a) ou df
dx (a).
Repr´esentation Fixons a∈Iet consid´erons x∈I, on note A(a, f (a)) et M(x, f (x)) un point courant. Le taux d’accroissement
d´esigne alors le coefficient directeur de la corde (AM) :
O
La fonction fest d´erivable en asi la corde admet une position limite quand xtend vers a: la tangente au point A. Ainsi, f0(a), le
nombre d´eriv´e, n’est rien d’autre que le coefficient directeur de la tangente en aqui a pour ´equation :
Ta:y=f0(a)(x−a) + f(a)
Remarque Bien entendu, si on ne s’int´eresse qu’`a la limite `a gauche ou `a droite, on pr´ecisera que fest d´erivable `a gauche ou `a
droite en a.
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iet a∈I. Alors, fest d´erivable en asi et seulement si fest d´erivable `a gauche et `a
droite de aavec :
lim
x→a,x<a
f(x)−f(a)
x−a= lim
x→a,x>a
f(x)−f(a)
x−a
Propri´et´e 5 (caract´erisation de la d´erivabilit´e en un point).
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Chapitre 2
Etude des fonctions d’une variable r´eelle et premiers exemples
Soient f, g deux fonctions d´efinies et d´erivables sur un intervalle I.
(i) La somme f+gest encore d´erivable sur Iet pour tout x∈I, (f+g)0(x) = f0(x) + g0(x).
(ii) Le produit f g est encore d´erivable sur Iet pour tout x∈I, (fg)0(x) = f0(x)g(x) + f(x)g0(x).
(iii) Sous r´eserve d’existence, le quotient 1
gest encore d´erivable sur Iet pour tout x∈I, ( 1 g)0(x) = −g0(x) (g(x))2.
(iv) Sous r´eserve d’existence, le quotient f
gest encore d´erivable sur Iet pour tout x∈I, ( f g)0(x) = f0(x)g(x)−f(x)g0(x) (g(x))2.
Propri´et´e 6 (op´erations sur les fonctions d´erivables).
Exemple 6 Etudier la d´erivabilit´e de la fonction f:x7→ x√x, puis calculer f0(x).
Soient fune fonction d´erivable sur un intervalle Iet gune fonction d´erivable sur un intervalle J, telles que f(I)⊂J.
Alors la fonction g◦fest encore d´erivable sur Iet pour tout x∈I:
(g◦f)0(x) = g0(f(x)) ×f0(x)
Propri´et´e 7 (d´erivabilit´e d’une fonction compos´ee).
Exemple 7 Etudier la r´egularit´e de la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = p|4−x|.
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iet qu’on suppose d´erivable. Alors fest continue sur I.
Propri´et´e 8 (relation entre continuit´e et d´erivabilit´e).
D´efinition Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iinclus dans R. On dit plus g´en´eralement que fest de classe Cksur Isi
elle admet kd´eriv´ees successives et que sa d´eriv´ee k-i`eme, not´ee f(k)est encore continue sur I.
Remarque La plupart du temps, les fonctions donn´ees sont parfaitement d´erivables sur leur domaine de d´efinition : c’est le cas
des fonctions polynomiales et rationnelles qui sont mˆeme ind´efiniment d´erivables, on dit aussi qu’elles sont de classe C∞.
*** Monotonie
D´efinition Soit fune fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalle I.
•On dit que fest croissante sur Isi pour tous x, y ∈I,x≤y⇒f(x)≤f(y).
•On dit que fest d´ecroissante sur Isi pour tous x, y ∈I,x≤y⇒f(x)≥f(y).
•On dit que fest monotone sur Isi fest croissante ou d´ecroissante sur I.
Remarque Si les in´egalit´es sont strictes, on pr´ecisera notre propos en disant que fest strictement monotone.
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iqu’on suppose d´erivable sur I. Alors les variations de fd´ependent du signe de sa d´eriv´ee
de sorte que :
(i) fest croissante sur Isi et seulement si pour tout x∈I,f0(x)≥0.
(ii) fest d´ecroissante sur Isi et seulement si pour tout x∈I,f0(x)≤0.
(iii) fest constante sur Isi et seulement si pour tout x∈I,f0(x) = 0.
Th´eor`eme 9 (caract´erisation de la monotonie par le signe de la d´eriv´ee).
Si les ´etudes de fonctions nous permettent d’illustrer avant tout des ph´enom`enes d’´evolution, elles nous permettront aussi de d´emontrer
certaines in´egalit´es.
Exemple 8 Montrer que pour tout x∈R,
x2−x4
2≤ln(1 + x2)≤x2
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