Lois de probabilités continues

Ann´ee 2005-2006 BTS MAI 2
Chap 7 : Lois de probabilit´es continues
I. Variable al´eatoire continue
1) D´efinition
D´efinition 1 : Une variable al´eatoire Xest dite continue lorsque elle peut prendre toutes les valeurs
de R(ou ´eventuellement d’un intervalle ).
Dans ce cas on ne s’int´eresse pas `a des valeurs isol´ees prises par Xmais `a des
intervalles c’est-`a-dire aux ´ev´enements du type a6X6b.
On a alors P(a6X6b) = Zb
a
f(u)duo`u fest une fonction positive appel´ee
densit´e de probabilit´e de X.
Exemple : Par exemple la dur´ee de vie d’une ampoule prise au hasard dans un stock est une
variable al´eatoire continue.
Remarque : On a n´ecessairement P(X=a) = Za
a
f(u)du= 0 et fest telle que Z+∞
−∞
f(u)du= 1.
2) Fonction de r´epartition
D´efinition 2 : Comme dans le cas continu on d´efinit la fonction de r´epartition de la variable al´ea-
toire Xpar F(t) = P(X6t).
On a donc F(t) = Zt
−∞
f(u)du.
Remarque : On a ainsi pour tous aet b(avec a < b) : P(a6X6b) = F(b)−F(a).
3) Esp´erance et ´ecart-type
D´efinition 3 : On peut `a l’aide de la densit´e fd´efinir l’esp´erance E(X), la variance V(X) et l’´ecart-
type σ(X) de Xpar E(X) = Z+∞
−∞
uf (u)du,V(X) = Z+∞
−∞
(u−E(X))2f(u)duet
σ(X) = pV(X).
Propri´et´e 1 : Comme dans le cas discret on a :
•E(X+Y) = E(X) + E(Y) pour Xet Ydeux variables al´eatoires.
•V(X) = E(X2)−E(X)2.
•V(X1+X2) = V(X1)+V(X2) pour X1et X2deux variables al´eatoires ind´ependantes.
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II. Loi normale
1) Loi normale centr´ee r´eduite
D´efinition 4 : On dit qu’une variable al´eatoire continue Xsuit la loi normale centr´ee r´eduite, not´ee
N(0,1) si la densit´e de probabilit´e de Xest f(u) = 1
√2πe−u2
2.
on a alors pour tous aet b:P(a6X6b) = Zb
a
1
√2πe−u2
2du.
Remarque : On ne connait pas de primitive `a f(u) mais on sait calculer de bonnes valeurs appro-
ch´ees des int´egrales.
On peut toujours voir P(a6X6b) comme une aire sous la courbe de fsachant que
l’aire totale sous la courbe fait bien 1.
Pour cette loi la fonction de r´epartition se note Π(t).
On a alors P(a6X6b) = Π(b)−Π(a).
Propri´et´e 2 : Si Xsuit la loi normale centr´ee r´eduite on a E(X) = 0 et V(X) = 1.
D’ou la notation de cette loi.
Remarque : Dans la pratique on utilise le formulaire qui donne les principales valeurs de la fonction
Π.
On a notamment Π(−t) = 1 −Π(t)(car la courbe de fest sym´etrique par rapport `a
l’axe Oy)et P(−t6X6t) = Π(t)−Π(−t) = Π(t)−(1 −Π(t)) = 2Π(t)−1.
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2) Loi normale ”quelconque”
D´efinition 5 : On dit qu’une variable al´eatoire continue Xsuit la loi normale de param`etres met
σ, not´ee N(m, σ) si la densit´e de probabilit´e de Xest f(u) = 1
σ√2πe−1
2(u−m σ)2
.
On a alors pour tous aet b:P(a6X6b) = Zb
a
1
σ√2πe−1
2(u−m σ)2
du.
Propri´et´e 3 : Si Xsuit la loi N(m, σ) on a E(X) = met V(X) = σ.
D’ou la notation de cette loi.
On a une propri´et´e tr`es pratique pour faire un lien entre N(m, σ) et N(0,1) et ainsi pouvoir utiliser
le formulaire :
Propri´et´e 4 : Si Xsuit la loi N(m, σ) alors X−m
σsuit la loi N(0,1).
Exemple : si Xsuit la loi N(2,3) on a par exemple :
P(−16X65) = P−1−2
36X−2 365−2 3=P−16X−2 361et puisque
X−2
3suit la loi N(0,1) on a P(−16X−2 361) = Π(1) −Π(−1) = 2Π(1) −1≈
0,6826.
3) Somme de deux lois normales ind´ependantes
Propri´et´e 5 : Si X1et X2sont deux variables al´eatoires ind´ependantes et si X1suit la loi N(m1, σ1)
et X2la loi N(m2, σ2) alors X1+X2suit la loi normale Nm1+m2,qσ2
1+σ2 2.
Remarque : On peut r´esumer la propri´et´e pr´ec´edente en disant que la somme de deux lois normales
ind´ependantes est une loi normale et en remarquant que les param`etres sont donn´es
par E(X1+X2) = E(X1) + E(X2) et V(X1+X2) = V(X1) + V(X2).
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