Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STG

Fonction logarithme n´ep´erien, cours de
Terminale STG
F.Gaudon
22 mars 2008
Table des mati`eres
1 Construction de la fonction logarithme n´ep´erien 2
2 Propri´et´es alg´ebriques 2
3 Propri´et´es analytiques 3
3.1 ´ Etude de la fonction ....................... 3
3.2 Tableau de variation ....................... 4
3.3 Tableau de signe ......................... 4
3.4 Repr´esentation graphique .................... 4
4 R´esolution d’´equations et d’in´equations avec le logarithme
n´ep´erien 5
5 D´erivation de fonctions compos´ees avec la fonction logarithme
n´ep´erien 6
1

1 Construction de la fonction logarithme n´ep´erien
Historiquement la fonction logarithme n´ep´erien a ´et´e introduite au XVIe
si`ecle par Neper afin de simplifier les calculs astronomiques. En particulier
la probl´ematique ´etait de rechercher une fonction transformant les multipli-
cations en additions (source : document d’accompagnement des programmes
de terminale STG).
On cherche une fonction donc une fonction fqui v´erifie f(ax) = f(a) +
f(x) pour tous les r´eels strictement positifs aet x.
Propri´et´e :
Soit fest une fonction d´erivable sur Rv´erifiant : pour tous r´eels aet x
strictement positifs, f(ax) = f(a) + f(x), alors f0(x) = k
xo`u kest un
nombre r´eel.
Preuve :
On suppose dans un premier temps qu’une telle fonction fexiste. Alors
f(1) = f(1 ×1) = f(1) + f(1) donc f(1) = 2f(1) d’o`u f(1) = 0. D’autre
part, soit a > 0, pour tous les r´eels x > 0, on a f(ax) = f(a) + f(x) d’o`u en
d´erivant af0(ax) = f0(x) et pour x= 1 on obtient af0(a) = f0(1) donc
f0(a) = f0(1)
a. D’o`u pour tous les r´eels x > 0, f0(x) = f0(1) x. Choisissons
f0(1) = ko`u kest un r´eel quelconque puisqu’aucune contrainte ne semble
fixer f0(1). On a donc f0(x) = 1
xpour tout r´eel x > 0.
Propri´et´e et d´efinition :
Il existe une unique fonction not´ee ln d´efinie et d´erivable sur ]0; +∞[
dont l´e d´eriv´ee est ln0(x) = 1
xet ln(1) = 0. Cette fonction est appel´ee
fonction logarithme n´ep´erien.
2 Propri´et´es alg´ebriques
Propri´et´e :
Pour tous les r´eels aet bstrictement positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b).
2

Preuve :
Soit a > 0. On pose pour tout r´eel x > 0, h(x) = ln(ax)−ln(a)−ln(x). Il
s’agit de montrer que hest nulle hest d´erivable sur ]0; +∞[ et pour tout
x > 0, h0(x) = a1
ax −1 x= 0. h0est donc la fonction nulle d’o`u ses primitives
sont constantes. hest donc constante. Comme
h(1) = ln(a)−ln(a)−ln(1) = 0, hest donc la fonction nulle aussi. D’o`u
pour tout x > 0 et tout a > 0 on a ln(ax) = ln(a) + ln(x).
Propri´et´es :
Pour tous les r´eels aet bstrictement positifs,
•ln(1
b) = −ln(b) ;
•ln(a
b) = ln(a)−ln(b) ;
•pour tout entier relatif n, ln(an) = nln a;
•ln(√a) = 1
2ln(a) ;
Preuve :
•D’une part, ln(b×1
b) = ln(1) = 0.
D’autre part, ln(b×1
b) = ln(b) + ln(1 b)
Donc ln(b) + ln(1
b) = 0 d’o`u le r´esultat.
•ln(a
b) = ln(a×1 b) = ln(a) + ln(1 b) = ln(a)−ln(b) d’apr`es ce qui pr´ec`ede.
•D´ecoule directement du fait que ln(an) = ln(a) + ln(a) + . . . + ln(a)
| {z }
nfois
.
•ln(a) = ln(√a×√a) = ln(√a) + ln(√a) = 2 ln(√a). D’o`u le r´esultat.
Exemples :
•ln(32) = ln(25) = 5 ln(2) ;
•ln(1/108) = −8 ln(10).
3 Propri´et´es analytiques
3.1 ´ Etude de la fonction
Propri´et´e :
ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
3

Preuve :
D´ecoule du fait que pour tout xr´eel strictement positif, ln0(x) = 1
x>0.
Propri´et´e et d´efinition :
Il existe un unique r´eel dont le logarithme n´ep´erien vaut 1, on appelle e
cet unique r´eel tel que ln(e) = 1.
Preuve :
D´ecoule de l’hypoth`ese (forte) que ln est d´erivable sur ]0; +∞[ et
strictement croissante.
3.2 Tableau de variation
x0 +∞
ln0(x)k+
k
ln(x)k %
k
3.3 Tableau de signe
x0 1 +∞
ln(x)k-0+
3.4 Repr´esentation graphique
On parle de croissance logarithmique pour d´ecrire une telle ´evolution.
4

0 1 2 3 4 5−1 0
1
2
3
−1
−2
−3
−4
0 1 2 3 4 5−1 0
1
2
3
−1
−2
−3
−4
4 R´esolution d’´equations et d’in´equations avec
le logarithme n´ep´erien
Propri´et´e :
•ln(a) = ln(b) si et seulement si a=b.
•ln(a)≥ln(b) si et seulement si a≥b.
Preuve :
D´ecoule de l’hypoth`ese (forte) que ln est d´erivable sur ]0; +∞[ et
strictement croissante.
Exemples :
•ln(x−1) = 0
Premi`ere ´etape : d´etermination de l’ensemble de d´efinition.
On a x−1>0 si et seulement si x > 1 donc l’ensemble de d´efinition est
]1; +∞[. Deuxi`eme ´etape : r´esolution de l’´equation.
On a ln(x−1) = 0 qui s’´ecrit ln(x−1) = ln(1) ce qui ´equivaut `a
x−1 = 1 donc x= 2. Comme 2 est dans l’ensemble de d´efinition, c’est
donc l’unique solution de l’´equation.
5