AES-Misashs 2009-2010 Travaux Dirigés n◦ 2 Puissances entières positives et négatives Définition Soit n ≥ 1 un entier naturel, la puissance ne d’un réel x est le produit de n facteurs égaux à x, on le note xn et on lit ” x à la puissance n ”. On a donc xn = x · · · × x} . | × x{z n fois Règles de calcul avec les puissances entières Pour tous réels x, y et pour tous entiers naturels n ≥ 1 et m ≥ 1, on a : Table 1 (1) (2) (3) (4) Propriétés x x = xn+m (xn )m = xnm (xy)n = xn y n n x xn = n (où y 6= 0) y y n m Exemples 2 2 = 25+7 = 212 (25 )7 = 25×7 = 235 610 = (2 × 3)10 = 210 · 310 4 2 24 = 4 3 3 5 7 Identités remarquables (savoir au moins la première colonne) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = (a − b)(a + b) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) Extension de la définition aux exposants négatifs On peut généraliser la définition de xn aux exposants négatifs ou nuls, pour cela il faut que x 6= 0, et on pose les définitions suivantes : Exemples x0 = 1 1 x−n = n x 20 = 1 3−2 = 1 1 = 2 3 9 Et les règles de calcul exposées dans la table 1 sont encore vraies. En particulier : Propriétés Exemples xn = xn−m xm xn 1 = m−n m x x 25 = 25−2 = 23 = 8 22 22 1 1 1 = 5−2 = 3 = 5 2 2 2 8 Exercices Simplifier les expressions suivantes. 11 5 a a (2x4 ) (5x6 ) 1 3 7 8 3 2 3 5 3 2 4 x7 x5 x3 ((x7 )5 ) (4a2 b)3 (2a b c) x (8x ) (5x y ) (4x y ) a5 a11 2 (10x2 )4 5 −3 ab 1 −3 2 1 5 (9y 6 )4 (3y 5 )−3 a (−3a−7 ) (2a2 ) (u−2 v 3 )−4 (2x4 y −6 ) x y (6x−1 y 3 ) 7 2 6 2a b 4 Utiliser les identités remarquables pour transformer les expressions suivantes. s2 − 9 25s2 − 10s + 1 x2 − 0, 01 x4 + 2x2 y 3 + y 6 z 6 − 2z 3 t8 + t16 2r − 1 − r2 1 Racines carrées, racines cubiques, racines q e Définition Soit a et b deux nombres réels positifs et q un entier naturel non nul, on dit que b est la 1 √ racine q e de a si on a bq = a. On note ce nombre b par q a ou par a q . Remarques √ √ √ Pour q = 1 on a 1 a = a et pour q = 2 on écrit a au lieu de 2 a. On lit alors ”racine carrée de a” au lieu de ”racine deuxième de a”. Lorsque q = 3, on dit ”racine cubique” plutôt que ”racine troisième”. Propriétés Soit p ≥ 1 et q ≥ 1 des entiers naturels et a, b des réels positifs ou nuls on a : Propriétés 0 =0 1 1q = 1 1 (a q )q = a 1 1 1 1 a p a q = a( p + q ) 1 1 1 a q b q = (ab) p Exemples 1 q (0) (1) (2) (3) (4) 1 1 1 (a q ) q = a pq 1 a 1q aq = 1 (6) b bq (5) √ 1 ( 3)2 = 3; (5 4 )4 = 5 1 1 1 1 7 2 3 2 4 = 2( 3 + 4 ) = 2 12 √ √ √ √ 1 √ 1 1 2 4 3 4 = 6 4 ; 50 = 25 × 2 = 25 2 = 5 2 1 13 p √ √ 1 3 4 2 = 24 = 2 12 = 12 2 r √ 13 1 3 3 33 3 3 3 = = 1 = 8 8 2 83 Exercice 1 La racine carrée d’un nombre peut–elle être strictement négative ? Et la racine cubique d’un nombre ? Combien existe-t’il de nombres x tel que x2 = 4 ? Combien existe-t’il de nombres x tel que x3 = 8 ? Combien existe-t’il de nombres x tel que x2 = −4 ? Combien existe-t’il de nombres x tel que x3 = −8 ? Exercice 2√ : 16 √ Calculer √ √ 2 α ( 6 − 2)2 1 1 27 3 16 4 √ 2 (2 + 3) . Exercice 3 √ 72 p (−7)2 56 √ 32 + 52 √ √ √ √ √ √ 24+ 54− 6 12+2 27+3 75−9 48 Simplifier : 6 ×4 q q√ q√ q √ √ 2 2 2 ( 7 + 2) + ( 7 − 2) (2 + 7) + (2 − 7)2 . 1 3 1 3 √ √ √ ( α)2 p (3 + 5)2 1√ 34 4 6 p√ 2 q 1 1 (4a 2 )(2a 2 ) Exercice 4 On sait que le taux annuel i à intérët composé et le taux mensuel équivalent t sont liés par la formule : (1 + t)12 = 1 + i. a) Calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel de 12% ,de 5% . b) Calculer le taux annuel équivalent au taux mensuel de 1% ,de 0, 5% . Exercice 5 La masse moyenne M en kg d’une femme dont la taille en cm est h est donnée par M = 0, 0097h1,7 . Calculer la taille d’une femme pesant 60 kg. Que devient la taille lorsque la masse d’une personne de 1, 70 m augmente de 10% ? 2