AES-Misashs 2009-2010 Travaux Dirigés n 2 Puissances enti`eres
AES-Misashs 2009-2010
Travaux Dirig´es n◦2
Puissances enti`eres positives et n´egatives
D´efinition
Soit n≥1 un entier naturel, la puissance ned’un r´eel xest le produit de nfacteurs ´egaux
`a x, on le note xnet on lit ” x`a la puissance n”. On a donc
xn=x×x··· × x
| {z }
nfois
.
R`egles de calcul avec les puissances enti`eres
Pour tous r´eels x, y et pour tous entiers naturels n≥1 et m≥1, on a :
Table 1 Propri´et´es Exemples
(1) xnxm=xn+m2527= 25+7 = 212
(2) (xn)m=xnm (25)7= 25×7= 235
(3) (xy)n=xnyn610 = (2 ×3)10 = 210 ·310
(4) x
yn
=xn
yn(o`u y6= 0) 2
34
=24
34
Identit´es remarquables (savoir au moins la premi`ere colonne)
(a+b)2=a2+ 2ab +b2(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3
(a−b)2=a2−2ab +b2(a−b)3=a3−3a2b+ 3ab2−b3
a2−b2= (a−b)(a+b)a3−b3= (a−b)(a2+ab +b2)
Extension de la d´efinition aux exposants n´egatifs
On peut g´en´eraliser la d´efinition de xnaux exposants n´egatifs ou nuls, pour cela il faut
que x6= 0, et on pose les d´efinitions suivantes :
Exemples
x0= 1 20= 1
x−n=1
xn3−2=1
32=1
9
Et les r`egles de calcul expos´ees dans la table 1 sont encore vraies. En particulier :
Propri´et´es Exemples
xn
xm=xn−m25
22= 25−2= 23= 8
xn
xm=1
xm−n
22
25=1
25−2=1
23=1
8
Exercices
Simplifier les expressions suivantes.
x7x5x3((x7)5)3(4a2b)3a11
a5
a5
a11 (2a3b2c)41
2x7(8x8) (5x3y2) (4x3y5)(2x4) (5x6)
(10x2)4
(9y6)4(3y5)−31
6a5(−3a−7) (2a2) (u−2v3)−4a5b
2a7b2−3
(2x4y−6)1
4x−3y2(6x−1y3)
Utiliser les identit´es remarquables pour transformer les expressions suivantes.
s2−9 25s2−10s+ 1 x2−0,01 x4+ 2x2y3+y6z6−2z3t8+t16 2r−1−r2
1
Racines carr´ees, racines cubiques, racines qe
D´efinition
Soit aet bdeux nombres r´eels positifs et qun entier naturel non nul, on dit que best la
racine qede asi on a bq=a. On note ce nombre bpar q
√aou par a
1
q.
Remarques
Pour q= 1 on a 1
√a=aet pour q= 2 on ´ecrit √aau lieu de 2
√a. On lit alors ”racine
carr´ee de a” au lieu de ”racine deuxi`eme de a”. Lorsque q= 3, on dit ”racine cubique” plutˆot
que ”racine troisi`eme”.
Propri´et´es
Soit p≥1 et q≥1 des entiers naturels et a, b des r´eels positifs ou nuls on a :
Propri´et´es Exemples
(0) 01
q= 0
(1) 11
q= 1
(2) (a
1
q)q=a(√3)2= 3; (51
4)4= 5
(3) a
1
pa
1
q=a(1
p+1
q)21
321
4= 2(1
3+1
4)= 2 7
12
(4) a
1
qb
1
q= (ab)1
p21
431
4= 61
4;√50 = √25 ×2 = √25√2 = 5√2
(5) (a
1
q)1
q=a
1
pq
3
p4
√2 = 21
41
3= 2 1
12 =12
√2
(6) a
b1
q=a
1
q
b
1
q
3
r3
8=3
81
3
=31
3
81
3
=
3
√3
2
Exercice 1
La racine carr´ee d’un nombre peut–elle ˆetre strictement n´egative ?
Et la racine cubique d’un nombre ?
Combien existe-t’il de nombres xtel que x2= 4 ?
Combien existe-t’il de nombres xtel que x3= 8 ?
Combien existe-t’il de nombres xtel que x2=−4 ?
Combien existe-t’il de nombres xtel que x3=−8 ?
Exercice 2
Calculer : √16 161
4271
3√72p(−7)2√56√32+ 52p(3 + 5)2(√α)2
√α2(√6−√2)2(2 + √3)2.
Exercice 3
Simplifier : 61
3×41
3√24+√54−√6√12+2√27+3√75−9√48 31
4
4
√6
p√2q(4a1
2)(2a1
2)
q(√7 + 2)2+q(√7−2)2q(2 + √7)2+q(2 −√7)2.
Exercice 4
On sait que le taux annuel i `a int´er¨et compos´e et le taux mensuel ´equivalent t sont li´es
par la formule : (1 + t)12 = 1 + i.
a) Calculer le taux mensuel ´equivalent au taux annuel de 12% ,de 5% .
b) Calculer le taux annuel ´equivalent au taux mensuel de 1% ,de 0,5% .
Exercice 5
La masse moyenne Men kg d’une femme dont la taille en cm est hest donn´ee par
M= 0,0097h1,7.
Calculer la taille d’une femme pesant 60 kg.
Que devient la taille lorsque la masse d’une personne de 1,70 m augmente de 10% ?
2
1
/
2
100%
