(un) N → R n ↦→ un u(n)

1ere S - Bilan chapitre 3 :
2. Définition par récurrence :
(
u0 = −4
SUITES - GÉNÉRALITÉS
un+1 = −0, 5 × un + 2 pour tout n ∈ N
Définition
Une suite est une liste infinie de valeurs indexée
Pour calculer u6 , il faut avoir calculé tous les
par des nombres entiers :
termes précédents (u1 , u2 , u3 , u4 , u5 ) :
n
u0 , u1 , u2 , u3 , . . .
0
u(n)
Trois notations sont possibles pour cette suite :
( u n ) n ∈N
(un )
u
1 2 3 4
5
6
...
−4 4 0 2 1 1, 5 1, 25 . . .
Voici sa représentation graphique :
y
5
4
3
2
1
x
0
0 1 2 3 4 5
b
b
Attention
b
1. Ne jamais oublier que u n’est pas un nombre,
mais une liste infinie de nombres !
b
2. un est le terme d’ordre n de la suite (un ).
Remarque
On peut ≪ voir ≫ une suite u comme une fonction :
u :
(
N →
n
b
Définition
n
R
0
u(n)
7→ un
1
2
...
u0 u1 u2
...
Une suite u est dite :
– croissante si :
un+1 ≥ un pour tout n
– décroissante si :
un+1 ≤ un pour tout n
Définition
La représentation graphique d’une suite u est
Exemples
l’ensemble des points de coordonnées (n; un )
Dans les deux cas, il suffit de regarder la
lorsque n parcourt N.
représentation graphique :
1. Pour u définie par :
un = 2n − 1 pour tout n ∈ N
Voici deux manières de définir une suite :
cette suite est croissante.
1. Définition fonctionnelle :
un = 2n − 1 pour tout n ∈ N
On peut calculer directement le terme de
n’importe quel rang, par exemple u17 ;
u(n)
0
(explication en terminale S).
1 2 3 ...
17 . . .
−1 1 3 5 . . .
33
Voici sa représentation graphique :
y
5
4
3
2
1
0
b
x
1
2
Propriété
Soit f une fonction de R + dans R.
Soit u la suite définie par :
1. Si f est croissante, alors la suite u aussi.
b
b
...
un = f (n) pour tout n ∈ N
b
0
un+1 = −0, 5 × un + 2 pour tout n ∈ N
cette suite n’est ni croissante, ni décroissante !
il suffit de remplacer n par 17 !
n
2. Pour u définie par :
(
u0 = −4
3
2. Si f est décroissante, alors la suite u aussi.
2. Limite finie
Définition
Etudier la limite d’une suite u, c’est examiner le
Soit ℓ un réel fixé. On dit que la suite u a pour
comportement de ses termes un lorsque n prend
limite ℓ si tout intervalle ouvert de centre ℓ
des valeurs de plus en plus grandes, c’est à dire
contient tous les termes sauf un nombre fini :
lorsque n tend vers +∞.
il y a ACCUMULATION de termes autour de ℓ.
lim un = ℓ
n→∞
Trois cas sont possibles :
Plus formellement :
1. Limite infinie
Pour tout ε > 0 (aussi petit que l’on veut), il
• Si un devient aussi grand que l’on veut
pourvu que n soit assez grand, alors on dit
que la suite u a pour limite +∞ :
existe un entier naturel p tel que n ≥ p ⇒ ℓ − ε < un < ℓ + ε
C’est le cas pour la suite définie par :
(
u0 = −4
lim un = +∞
n→∞
un+1 = −0, 5 × un + 2 pour tout n ∈ N
Plus formellement :
Pour tout M > 0 (aussi grand que l’on veut),
il existe
un entier naturel p tel que
n ≥ p ⇒ un > M
C’est le cas pour la suite définie par :
4
b
2
b
b
4/3
0
5
4
3
2
1
0
6
7
b
2
3
4
5
−2
−4
y
b
b
1
un = 2n − 1 pour tout n ∈ N
b
b
b
b
Graphiquement, les points rouges ne cessent
b
de s’accumuler autour de la droite bleue,
sans jamais la toucher !
b
x
b
0 1 2 3
Dans cet exemple, les points représentant la
On démontrera en terminale que :
ℓ=
suite ne cessent de monter régulièrement, donc
peuvent monter aussi haut que l’on veut ...
• Si la suite −u (dont les termes sont
−u0 , −u1 , . . . ) a pour limite +∞, alors on
dit que la suite u a pour limite −∞ :
4
3
3. Pas de limite !
Il est possible qu’aucun des deux cas
précédents ne se réalise ; par exemple, la suite
u définie par un = (−1)n pour tout n ∈ N a
pour représentation graphique :
lim un = −∞
n→∞
Plus formellement :
b
b
b
b
b
0
1
b
2
3
b
4
5
b
6
7
b
Pour tout M > 0 (aussi grand que l’on veut),
il existe
un entier naturel p telque
n ≥ p ⇒ un < − M
C’est le cas symétrique du précédent.
Elle prend alternativement les valeurs +1 et
−1 selon la parité de n ; la suite u n’a donc
pas de limite finie ni de limite infinie.