(un) N → R n ↦→ un u(n)

1ereS - Bilan chapitre 3 :
SUITES - G ´ EN ´ ERALIT ´ ES
Une suite est une liste infinie de valeurs index´ee
par des nombres entiers :
u0,u1,u2,u3, . . .
Trois notations sont possibles pour cette suite :
(un)n∈N(un)u
D´efinition
Attention
1. Ne jamais oublier que un’est pas un nombre,
mais une liste infinie de nombres !
2. unest le terme d’ordre nde la suite (un).
Remarque
On peut ≪voir ≫une suite ucomme une fonction :
u:(N→R
n7→ un
n0 1 2 . . .
u(n)u0u1u2...
La repr´esentation graphique d’une suite uest
l’ensemble des points de coordonn´ees (n;un)
lorsque nparcourt N.
D´efinition
Voici deux mani`eres de d´efinir une suite :
1. D´efinition fonctionnelle :
un=2n−1 pour tout n∈N
On peut calculer directement le terme de
n’importe quel rang, par exemple u17 ;
il suffit de remplacer n par 17 !
n0 1 2 3 . . . 17 . . .
u(n)−1 1 3 5 . . . 33 . . .
Voici sa repr´esentation graphique :
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3
x
y
2. D´efinition par r´ecurrence :
(u0=−4
un+1=−0, 5 ×un+2 pour tout n∈N
Pour calculer u6, il faut avoir calcul´e tous les
termes pr´ec´edents (u1,u2,u3,u4,u5) :
n0 1 2 3 4 5 6 . . .
u(n)−4 4 0 2 1 1, 5 1, 25 . . .
Voici sa repr´esentation graphique :
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
x
y
Une suite uest dite :
–croissante si :
un+1≥unpour tout n
–d´ecroissante si :
un+1≤unpour tout n
D´efinition
Exemples
Dans les deux cas, il suffit de regarder la
repr´esentation graphique :
1. Pour ud´efinie par :
un=2n−1 pour tout n∈N
cette suite est croissante.
2. Pour ud´efinie par :
(u0=−4
un+1=−0, 5 ×un+2 pour tout n∈N
cette suite n’est ni croissante, ni d´ecroissante !
(explication en terminale S).
Soit fune fonction de R+dans R.
Soit ula suite d´efinie par :
un=f(n)pour tout n∈N
1. Si fest croissante, alors la suite uaussi.
2. Si fest d´ecroissante, alors la suite uaussi.
Propri´et´e

Etudier la limite d’une suite u, c’est examiner le
comportement de ses termes unlorsque nprend
des valeurs de plus en plus grandes, c’est `a dire
lorsque ntend vers +∞.
D´efinition
Trois cas sont possibles :
1. Limite infinie
•Si undevient aussi grand que l’on veut
pourvu que nsoit assez grand, alors on dit
que la suite ua pour limite +∞:
lim
n→∞un= +∞
Plus formellement :
Pour tout M >0(aussi grand que l’on veut),
il existe un entier naturel p tel que
n≥p⇒un>M
C’est le cas pour la suite d´efinie par :
un=2n−1 pour tout n∈N
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3
x
y
Dans cet exemple, les points repr´esentant la
suite ne cessent de monter r´eguli`erement, donc
peuvent monter aussi haut que l’on veut ...
•Si la suite −u(dont les termes sont
−u0,−u1, . . . ) a pour limite +∞, alors on
dit que la suite ua pour limite −∞:
lim
n→∞un=−∞
Plus formellement :
Pour tout M >0(aussi grand que l’on veut),
il existe un entier naturel p tel que
n≥p⇒un<−M
C’est le cas sym´etrique du pr´ec´edent.
2. Limite finie
Soit ℓun r´eel fix´e. On dit que la suite ua pour
limite ℓsi tout intervalle ouvert de centre ℓ
contient tous les termes sauf un nombre fini :
il y a ACCUMULATION de termes autour de ℓ.
lim
n→∞un=ℓ
Plus formellement :
Pour tout ε>0(aussi petit que l’on veut), il
existe un entier naturel p tel que
n≥p⇒ℓ−ε<un< ℓ +ε
C’est le cas pour la suite d´efinie par :
(u0=−4
un+1=−0, 5 ×un+2 pour tout n∈N
0
2
4
−2
−4
1234567
4/3
Graphiquement, les points rouges ne cessent
de s’accumuler autour de la droite bleue,
sans jamais la toucher !
On d´emontrera en terminale que :
ℓ=4
3
3. Pas de limite !
Il est possible qu’aucun des deux cas
pr´ec´edents ne se r´ealise ; par exemple, la suite
ud´efinie par un= (−1)npour tout n∈Na
pour repr´esentation graphique :
0
1234567
Elle prend alternativement les valeurs +1 et
−1 selon la parit´e de n; la suite un’a donc
pas de limite finie ni de limite infinie.