2 Limites, continuité de fonctions dans un espace vectoriel

2 Limites, continuit´e de fonctions dans un espace
vectoriel norm´e
2.1 Limite
(E, k.kE) ; (F, k.kF) deux K-evn, dEet (resp dF) la distance associ´ee `a k.kE(resp k.kF)
D´efinition Soient X∈E; a∈X,f:X→Fune application, l∈F, On dit que fadmet l
pour limite en a, et on note lim
x→af(x) = lsi et seulement si :
∀ε > 0,∃η > 0,∀x∈X, (dE(x, a)≤η⇒dF(f(x), l)≤ε)
Ou de mani`ere ´equivalente :
∀ε > 0,∃η > 0,∀x∈X, (kx−akE≤η⇒ kf(x)−lkF≤ε)
Proposition
- Si fadmet let l0pour limite en a alors l=l0.
- Pour que fadmet lpour limite en a∈Xil faut et il suffit que pour toute suite
(un)n∈N⊂X, telle que un→aon a f(un)→l.
Remarque
Cette notion de limite reste inchang´ee si l’on utilise des normes ´equivalentes.
2.2 Continuit´e
D´efinition
Soit fune fonction d´efinie dans un ensemble E`a valeurs dans un ensemble F,k.kEune
norme de Eet k.kFune norme de F. Alors la fonction fest continue en asi et seulement si
∀ε > 0∃δ > 0, ∀x∈Ekx−akE≤δ, kf(x)−f(a)kF≤ε
La propri´et´e qui suit s’intitule caract´erisation s´equentielle de la continuit´e . En pratique,
cette propri´et´e nous servira surtout `a prouver qu’une fonction est discontinue.
Propri´et´e
Une foncion f: (E, k,kE)→(F, k,kF) est continue en un point a´el´ement d’un ensemble
X⊂Esi, et seulement si, pour toute suite (xn)n∈Nd’´el´ements de l’espace Xconvergeant vers
a∈X, la suite (f(xn))n∈Nconverge vers f(a).
Preuve
On va d´emontrer les deux sens de l’´equivalence :
⇒soit (xn)n∈N, une suite d’´el´ements de l’espace Xconvergeant vers a∈X. Puisque fest
continue en a, alors, si l’on se fixe ε > 0, on a :
∃δ > 0 : kx−akE< δ =⇒ kf(x)−f(a)kF< ε
Pour le nombre δ > 0 donn´e, on a encore, puisque (xn)n∈Nest convergente
∃δ > 0 : n≥N=⇒ kxn−akE< δ
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Il est alors parfaitement clair, en combinant les deux in´egalit´es pr´ec´edentes que
∃δ > 0 : n≥N=⇒ kf(xn)−f(a)kF< ε
Puisque εa ´et´e choisi de fa¸con arbitraire, on en d´eduit que (f(xn))n∈Nconverge vers f(a).
⇐pour d´emontrer cette implication, on va raisonner par contra-pos´ee. Supposons donc que
fn’est pas continue en a∈X. Alors, il existe un certain ε > 0 tel que l’on puisse construire
une suite d’´el´ements de X, not´ee (xn)n∈Nv´erifiant
∀n∈N:kx−akE<1
net kf(x)−f(a)kF> ε
On a donc montr´e l’existence d’une suite (f(xn))n∈Nne convergeant pas vers f(a), alors
que (xn)n∈Nconverge vers a∈X.
D´efinition
•On dit qu’une fonction fest continue sur une partie Xsi et seulement si fest continue
en tout point de U.
•On note C0(X, F ) l’ensemble des fonctions continues de Xdans F.
Exemple
Soit la fonction f:x= (x1, ..., xn)∈Rn−→ f(x) =
n
P
i=1
x2
i=kxk2
2. Cette fonction est
continue sur tout Rn. En effet pour tout xet yon peut ´ecrire, en utilisant les propri´et´es d’une
norme :
|f(x)−f(y)|=kxk2
2− kyk2 2=|(kxk2+kyk2) (kxk2− kyk2)|
≤(kxk2+kyk2)kx−yk2= (kxk2+kx+y−xk2)kx−yk2
≤(2 kxk2+ky−xk2)kx−yk2
D’o`u la continuit´e en xcar, lorsque ytend vers x, la partie droite de l’in´egalit´e tend vers
0. Soit maintenant ∅:t∈R+−→ ∅(t) = √t. Il est claire que f(Rn) est continue dans
R+domaine de d´efinition de ∅,on a donc continuit´e sur tout Rnde la fonction ∅ ◦ f(x) =
px2
1+x2 2+... +x2
n=kxk2, c’est `a dire de la norme euclidienne.
Remarque
Dans l’exemple pr´ec´edent nous avons montr´e que la norme euclidienne est une fonction
continue sur Rnnorm´e par k.k2. Nous pouvons g´en´eraliser ce r´esultat `a une norme quelconque
k.kgrˆace `a l’´equivalence des normes k.ket k.k2. En effet pour xet x0∈Rnous avons
|kxk−kx0k| ≤ kx−x0k ≤ bkx−x0k2
avec bscalaire positif tel que kyk ≤ bkyk2∀y∈Rn. Ces in´egalit´es impliquent clairement
que kxk −→ kx0klorsque kxk2−→ kx0k2.
D´efinition : Une application fd´efinie d’un ensemble Xdans un espace vectoriel norm´e
(E, k.k) est dite born´ee s’il existe un r´eel M≥0 tel que ∀x∈Xkf(x)k ≤ M.
En particlier, si X=N, une suite (un) born´ee s’il existe un r´eel M≥0 tel que ∀n∈N
kunk ≤ M.
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