2 Limites, continuité de fonctions dans un espace vectoriel

2 Limites, continuité de fonctions dans un espace
vectoriel normé
2.1 Limite
(E, k.kE ) ; (F, k.kF ) deux K-evn, dE et (resp dF ) la distance associée à k.kE (resp k.kF )
Définition Soient X ∈ E ; a∈ X, f : X → F une application, l ∈ F, On dit que f admet l
pour limite en a, et on note lim f (x) = l si et seulement si :
x→a
∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ x ∈ X, (dE (x, a) ≤ η ⇒ dF (f (x), l) ≤ ε)
Ou de manière équivalente :
∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ x ∈ X, (kx − akE ≤ η ⇒ kf (x) − lkF ≤ ε)
Proposition
0
0
- Si f admet l et l pour limite en a alors l = l .
- Pour que f admet l pour limite en a ∈ X il faut et il suffit que pour toute suite
(un )n∈N ⊂ X, telle que un → a on a f (un ) → l.
Remarque
Cette notion de limite reste inchangée si l’on utilise des normes équivalentes.
2.2 Continuité
Définition
Soit f une fonction définie dans un ensemble E à valeurs dans un ensemble F , k.kE une
norme de E et k.kF une norme de F . Alors la fonction f est continue en a si et seulement si
∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x ∈ E kx − akE ≤ δ, kf (x) − f (a)kF ≤ ε
La propriété qui suit s’intitule caractérisation séquentielle de la continuité . En pratique,
cette propriété nous servira surtout à prouver qu’une fonction est discontinue.
Propriété
Une foncion f : (E, k, kE ) → (F, k, kF ) est continue en un point a élément d’un ensemble
X ⊂ E si, et seulement si, pour toute suite (xn )n∈N d’éléments de l’espace X convergeant vers
a ∈ X, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a).
Preuve
On va démontrer les deux sens de l’équivalence :
⇒ soit (xn )n∈N , une suite d’éléments de l’espace X convergeant vers a ∈ X. Puisque f est
continue en a, alors, si l’on se fixe ε > 0, on a :
∃δ > 0 : kx − akE < δ =⇒ kf (x) − f (a)kF < ε
Pour le nombre δ > 0 donné, on a encore, puisque (xn )n∈N est convergente
∃δ > 0 : n ≥ N =⇒ kxn − akE < δ
Topologie des Espaces normés
Walid Bouarifi • ENSA Safi 13
Il est alors parfaitement clair, en combinant les deux inégalités précédentes que
∃δ > 0 : n ≥ N =⇒ kf (xn ) − f (a)kF < ε
Puisque ε a été choisi de façon arbitraire, on en déduit que (f (xn ))n∈N converge vers f (a).
⇐ pour démontrer cette implication, on va raisonner par contra-posée. Supposons donc que
f n’est pas continue en a ∈ X. Alors, il existe un certain ε > 0 tel que l’on puisse construire
une suite d’éléments de X, notée (xn )n∈N vérifiant
∀n ∈ N : kx − akE <
1
et kf (x) − f (a)kF > ε
n
On a donc montré l’existence d’une suite (f (xn ))n∈N ne convergeant pas vers f (a), alors
que (xn )n∈N converge vers a ∈ X.
Définition
• On dit qu’une fonction f est continue sur une partie X si et seulement si f est continue
en tout point de U .
• On note C 0 (X, F ) l’ensemble des fonctions continues de X dans F .
Exemple
Soit la fonction f : x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn −→ f (x) =
n
P
x2i = kxk22 . Cette fonction est
i=1
continue sur tout Rn . En effet pour tout x et y on peut écrire, en utilisant les propriétés d’une
norme :
|f (x) − f (y)| = kxk22 − kyk22 = |(kxk2 + kyk2 ) (kxk2 − kyk2 )|
≤ (kxk2 + kyk2 ) kx − yk2 = (kxk2 + kx + y − xk2 ) kx − yk2
≤ (2 kxk2 + ky − xk2 ) kx − yk2
D’où la continuité en x car, lorsque y tend √
vers x, la partie droite de l’inégalité tend vers
0. Soit maintenant ∅ : t ∈ R+ −→ ∅(t) = t. Il est claire que f (Rn ) est continue dans
+
n
R
p domaine de définition de ∅,on a donc continuité sur tout R de la fonction ∅ ◦ f (x) =
2
2
2
x1 + x2 + ... + xn = kxk2 , c’est à dire de la norme euclidienne.
Remarque
Dans l’exemple précédent nous avons montré que la norme euclidienne est une fonction
continue sur Rn normé par k.k2 . Nous pouvons généraliser ce résultat à une norme quelconque
k.k grâce à l’équivalence des normes k.k et k.k2 . En effet pour x et x0 ∈ R nous avons
|kxk − kx0 k| ≤ kx − x0 k ≤ b kx − x0 k2
avec b scalaire positif tel que kyk ≤ b kyk2 ∀y ∈ Rn . Ces inégalités impliquent clairement
que kxk −→ kx0 k lorsque kxk2 −→ kx0 k2 .
Définition : Une application f définie d’un ensemble X dans un espace vectoriel normé
(E, k.k) est dite bornée s’il existe un réel M ≥ 0 tel que ∀x ∈ X kf (x)k ≤ M.
En particlier, si X = N, une suite (un ) bornée s’il existe un réel M≥ 0 tel que ∀n ∈ N
kun k ≤ M .
Topologie des Espaces normés
Walid Bouarifi • ENSA Safi 14