Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie II Rafael

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie
II
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 7 - Corrigé
Exercice 1
Montrez que l’ensemble Sest à la fois ouvert et fermé.
Exercice 2
N’oubliez pas que l’image d’un espace compact (connexe) par une application continue est
compacte (connexe).
Exercice 3
N’essayez pas d’utiliser à tout prix le lemme 2.19. En particulier, il est évidemment faux de
dire que si fest une application injective alors gest surjective du moment que la composition
fgfait sens.
Exercice 4
Voilà les étapes principales :
Les applications continues πX:X×YXet πY:X×YYinduisent deux
homomorphismes de groupes
(πX):π1X×Y, (x0, y0)π1X, x0
(πY):π1X×Y, (x0, y0)π1Y, y0.
On obtient l’homomorphisme Φ : π1X×Y, (x0, y0)π1X, x0×π1Y, y0en
combinant les deux précédents.
Montrez que Φest bijectif ; directement ou en explicitant un inverse (dans ce cas,
montrez que celui-ci est bien défini !).
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