MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, VI (Résidus quadratiques, équations diophantiennes)
Problème 1. Si p > 2est un nombre premier, montrez que p
a=1 a
p= 0.
Problème 2. Soit p > 2un nombre premier.
(a) Au deuxième intra, on a vu que p
x=1 x2+x
p=−1. Utilisez cette formule pour
montrez que p
x=1 x2−1
p=−1.
(b) Si d
p=−1, montrez que
p−1
x=1 dx2−1
p+
p−1
x=1 x2−1
p=−2−1 p.
[Indication : Montrez que les nombres dx2et x2,1≤x≤p−1, couvrent exactement
deux fois l’ensemble {1,2, . . . , p −1}modulo p.]
Déduisez que p
x=1 dx2−1
p= 1.
(c) Pour tout a, b ∈Z, montrez que
p
x=1 x2+ax +b
p=−1si p∤a2−4b,
p−1si p|a2−4b.
Problème 3.
(a) Montrez que un nombre premier p > 2peut être écrit comme x2+ 2y2, où x, y ∈N,
si et seulement si p≡1,3 (mod 8).
(b) Montrez que si p|a2+ 2b2avec (a, b) = 1, alors soit p= 2 soit p≡1,3 (mod 8).
(c) Déterminez quels sont les nombres naturels nqui peuvent s’écrire dans la forme
x2+ 2y2.
Problème 4.
(a) Trouvez tous les triplets pythagoriciens qui forment une progression arithmétique.
(b) Trouvez toutes les solutions entières à l’équation x2+y2=z4sachant que (x, y, z) = 1.
Problème 5. (Exercices 12, 13 et 16, page 126 du manuel)
(a) L’équation x4+x2=y4+ 5 possède-t-elle des solutions entières en xet y?
(b) Résolvez le système suivant :
2x(1 + y+y2) = 3(1 + y4)
2y(1 + z+z2) = 3(1 + z4)
2z(1 + x+x2) = 3(1 + x4)
(c) En utilisant la méthode de la descente infinie de Fermat, démontrer que
x3+ 3y3= 9z3=⇒xyz = 0.
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