Série 12

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie II
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 12
À rendre avant le jeudi 22 mai, 16h
Exercice 1 (Espace des dérivations)
1. Montrez que Derp(M)est un sous-espace vectoriel de E(p)∗:= Hom(E(p),R).
2. Soit ϕ:M→Ndifférentiable avec q=ϕ(p)et soit ϕ∗:E(q)→ E(p), g 7→ g◦ϕ. Montrez
que l’on a alors
ϕ∗(λg + ˜g) = λϕ∗(g) + ϕ∗(˜g)
ϕ∗(g·˜g) = ϕ∗(g)·ϕ∗(˜g)
(i.e. ϕ∗est un homomorphisme d’algèbres).
3. Montrez que
Θ : TpM→ Derp(M),[γ]7→ {f7→ (f◦γ)0(0)}
est une application linéaire.
Exercice 2 (Points critiques et valeurs régulières)
1. Soit f:Sn→Rune application différentiable. Montrez qu’il existe deux points p, q ∈Sn,
p6=q, avec (f∗)p= (f∗)q= 0.
2. Soit c≥0une constante et
φc:R3→R,(x, y, z)7→ x2+y2−z2−c.
Dessinez l’image réciproque φ−1
c(0) pour c= 0 et c > 0. Pour quel c≥0est-ce que 0∈R
est une valeur régulière ?
Exercice 3 (Forme alternée)
a) Soient Vun espace vectoriel sur Ret ω:V×. . . ×V→Rune k-forme alternée. Montrez
que
ω(vσ(1), . . . , vσ(k)) = sgn(σ)·ω(v1, . . . , vk),∀σ∈Sk,∀vi∈V.
b) Soit ω:R2×R2→R,ω(( a
c),(b
d)) := ad −bc.
Montrez que ω∈Alt2(R2)et décrivez les composantes de ωpour la base canonique (e1, e2)
de R2, ainsi que pour la base (e1+e2, e1−e2).

Exercice 4 (Gradient)
Soit f:Rn→Rune application différentiable telle que q=f(0). Montrez que la forme linéaire
df :Der0(Rn)→Rdéfinie par
Rh∂
∂x1
,..., ∂
∂xn
i=Der0(Rn)f∗ −→ Derq(R) = Rh∂
∂ti∼
=R
est égale à Pn
i=1
∂f
∂xi(0) ·dxioù (dx1, . . . , dxn)est la base duale de (∂ ∂x1,..., ∂ ∂xn).
Exercice 5 (Forme linéaire)
Soient M={(x, y)∈R2;x2+y2= 5}et N={(x, 0) ∈R2;|x|<1}. Soit Zla somme
topologique de Met N.
Montrez que
Ω0(Z)∼
=Ω0(M)⊕Ω0(N).
Déterminez le noyau de la dérivée extérieure
d: Ω0(Z)→Ω1(Z).