Série 12

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai
Algèbre et géométrie II
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 12
À rendre avant le jeudi 22 mai, 16h
Exercice 1 (Espace des dérivations)
1. Montrez que Derp (M ) est un sous-espace vectoriel de E(p)∗ := Hom(E(p), R).
2. Soit ϕ : M → N différentiable avec q = ϕ(p) et soit ϕ∗ : E(q) → E(p), g 7→ g ◦ ϕ. Montrez
que l’on a alors
ϕ∗ (λg + g̃) = λϕ∗ (g) + ϕ∗ (g̃)
ϕ∗ (g · g̃) = ϕ∗ (g) · ϕ∗ (g̃)
(i.e. ϕ∗ est un homomorphisme d’algèbres).
3. Montrez que
Θ : Tp M → Derp (M ), [γ] 7→ {f 7→ (f ◦ γ)0 (0)}
est une application linéaire.
Exercice 2 (Points critiques et valeurs régulières)
1. Soit f : S n → R une application différentiable. Montrez qu’il existe deux points p, q ∈ S n ,
p 6= q, avec (f∗ )p = (f∗ )q = 0.
2. Soit c ≥ 0 une constante et
φc : R3 → R, (x, y, z) 7→ x2 + y 2 − z 2 − c.
Dessinez l’image réciproque φ−1
c (0) pour c = 0 et c > 0. Pour quel c ≥ 0 est-ce que 0 ∈ R
est une valeur régulière ?
Exercice 3 (Forme alternée)
a) Soient V un espace vectoriel sur R et ω : V × . . . × V → R une k-forme alternée. Montrez
que
ω(vσ(1) , . . . , vσ(k) ) = sgn(σ) · ω(v1 , . . . , vk ), ∀σ ∈ Sk , ∀vi ∈ V.
b) Soit ω : R2 × R2 → R, ω(( ac ), ( db )) := ad − bc.
Montrez que ω ∈ Alt2 (R2 ) et décrivez les composantes de ω pour la base canonique (e1 , e2 )
de R2 , ainsi que pour la base (e1 + e2 , e1 − e2 ).
Exercice 4 (Gradient)
Soit f : Rn → R une application différentiable telle que q = f (0). Montrez que la forme linéaire
df : Der0 (Rn ) → R définie par
Rh
est égale à
Pn
∂
∂
∂
f∗
,...,
i = Der0 (Rn ) −→ Derq (R) = Rh i ∼
=R
∂x1
∂xn
∂t
∂f
i=1 ∂xi (0)
· dxi où (dx1 , . . . , dxn ) est la base duale de ( ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂n ).
Exercice 5 (Forme linéaire)
Soient M = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 = 5} et N = {(x, 0) ∈ R2 ; |x| < 1}. Soit Z la somme
topologique de M et N .
Montrez que
Ω0 (Z) ∼
= Ω0 (M ) ⊕ Ω0 (N ).
Déterminez le noyau de la dérivée extérieure
d : Ω0 (Z) → Ω1 (Z).