Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie I Rafael

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie I
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 11
À rendre avant le jeudi 12 décembre, 17h00
Exercice 0 (Classification des groupes abéliens)
À isomorphisme près, trouvez tous les groupes abéliens d’ordre :
a) 53,b) 1183,c) 600.
Exercice 1 (Modules libres)
a) Soit Fun A-module libre avec base (x1, . . . , xn). Soit p∈Aun élément premier. Montrez
que F/pF est un espace vectoriel sur le corps K=A/(p)et que les classes
¯x1=x1+pF, . . . , ¯xn=xn+pF
forment une base de F/pF .
b) Soit Fun A-module libre. Soient (x1, . . . , xn)et (y1, . . . , ym)deux bases de F. Montrez que
n=m.
Exercice 2 (Bases)
Soit Fun Z-module libre de dimension n. Montrez ou réfutez les assertions suivantes :
a) Si x1, . . . , xn∈Fsont linéairement indépendants, alors (x1, . . . , xn)est une base de F.
b) Si y1, . . . , ym∈Fengendrent le module F, alors {y1, . . . , ym}contient une base de F.
c) Soit ϕ:F→Fun homomorphisme injectif de Z-modules. Si x1, . . . , xm∈Fsont linéaire-
ment indépendants, alors ϕ(x1), . . . , ϕ(xm)sont linéairement indépendants.
d) Soit ϕ:F→Fun homomorphisme injectif de Z-modules. Si (x1, . . . , xn)est une base de
F, alors (ϕ(x1), . . . , ϕ(xn)) est aussi une base de F.
Définition
Soient Run anneau et Pun R–module. On dit que Pest un R–module projectif, si pour
toute application de R–modules f:P→Bet pour toute application surjective de R–modules
g:AB, il existe une application de R–modules h:P→Atel que le diagramme suivant
commute :
A
B.P
g
f
∃h

Remarque
Dans la définition d’un module projectif, on n’exige pas l’unicité de l’application h:P→A. Il
ne s’agit pas d’une propriété universelle.
Exercice 3 (Equivalence de modules projectifs)
Soit Pun R–module. Montrez que les assertions suivantes sont équivalentes :
a) Pest projectif.
b) Toute suite exacte courte de R–modules
0−→ Af −→ Bg −→ P−→ 0
est scindée, i.e. il existe une application de R–modules h:P→Btelle que g◦h:P→P
est l’identité sur P.
c) Il existe un R–module Mtel que P⊕Mest un R–module libre. (En particulier, tout
R–module libre est projectif.)
Exercice 4 (Modules projectifs)
a) Montrez que Znest un Z–module projectif.
b) Soit a∈N>0un entier positif. Montrez que Z/aZn’est pas un Z–module projectif.
c) Montrez que Qn’est pas un Z–module projectif.
(Indication : Montrez que l’application
ϕ:M
n≥1
Z−→ Q,(ai)i7→ X
i
ai
i,
est un homomorphisme surjectif de Z-modules. Ensuite, montrez qu’il n’existe pas de homomorphisme de
Z–modules s:Q→Ln≥1Ztel que ϕ◦s=idQ. Concluez.)