Algèbre et géométrie II Cours du Prof. Anand Dessai Jordane Granier & Ivan Martino Série 7 À rendre avant le vendredi 22 avril, 12h Exercice 1 1. Trouvez un cercle C ⊂ C − {i} qui est un rétract de C − {i} . 2. Soient X un espace topologique, p, q ∈ X et α, β : I → X deux chemins de p à q . Montrez que si X est simplement connexe, alors α et β sont homotopes comme chemins de p à q (c.-à-d. α 'p β ). Exercice 2 1. Soit A ⊂ X un rétract de X et r : X → A une rétraction. Montrez que pour tout a0 ∈ A l'homomorphisme r∗ : π1 (X, a0 ) → π1 (A, a0 ) est surjectif. 2 2. Soient A un rétract de B = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} et f : A → A continue. Montrez que f a un point xe, c.-à-d. il existe un point a ∈ A avec f (a) = a. Exercice 3 Soit A = (aij )ij ∈ M (3 × 3; R) tel que det A 6= 0 et aij ≥ 0 pour tout i, j . Montrez que A possède une valeur propre réelle strictement positive. Exercice bonus 4 Soit (G, •) un groupe topologique, c.-à-d. G est un espace topologique, (G, •) est un groupe et les applications • : G × G → G et ( )−1 : G → G, g 7→ g −1 , sont continues. Soit x0 l'élèment neutre de G. Soit Ω(G, x0 ) l'ensemble des lacets de base x0 . Pour f, g ∈ Ω(G, x0 ) on dénit f g ∈ Ω(G, x0 ) par (f g)(s) = f (s) • g(s). Montrez : 1. (Ω(G, x0 ), ) est un groupe. 2. La loi de composition induite une loi de composition sur π1 (G, x0 ) (aussi notée par ). 3. est égale à la multiplication dans π1 (G, x0 ). 4. π1 (G, x0 ) est commutatif.