Algèbre Devoir No 1 Exercice 1 Soit f : E → F une application d`un

Algèbre
Devoir No 1
Exercice 1
Soit f:E→Fune application d’un ensemble Edans un ensemble Fet g:F→Gune application
de Fdans un ensemble G.
1. Prouver que
g◦fsurjective et ginjective →fsurjective.
2. Montrer que
g◦finjective →finjective.
3. Montrer que pour toute partie Aet toute partie Bde El’on a
f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).
4. Montrer que fest injective si et seulement si pour toutes les parties A, B de E
f(A∩B) = f(A)∩f(B).
5. Soit Eun ensemble fini. Montrer que toute application injective f:E→Eest bijective et
que toute application surjective g:E→Eest aussi bijective.
6. Montrer que pour tout n∈N, le groupe Sndes bijections de l’ensemble En={1,· · · , n}
possède n!éléments.
Exercice 2
3) Soit
A=(a b
b b ;a, b, c, d ∈R,).
Munissons Ade la multiplication
a b
c d ·a0b0 c0d0=aa0+bc0ab0+bd0 ca0+dc0cb0+dd0
Soit pour A=a b
b b ∈ A:
δ(A) = ad −bc.
Montrer que
δ(A·B) = δ(A)d(B); A, B ∈ A.
Soit G={A∈ A;δ(A)6= 0}.
1. Montrer que (G, ·)et un groupe.
2. Déterminer le centre Z={u∈G;u·v=v·u, ∀v∈G}de G.
Exercice 3
1. Définissons sur H1=R3le produit ∗par
(x, y, t)∗(x0, y0, t0) = (x+x0, y +y0, t +t0+ (xy0−x0y)).
Montrer que (H1,∗)est un groupe.
1

2. Déterminer le centre
Z={u∈H1;u∗x=x∗upour tout x∈H1}
de H1.
Exercice 4
Soit (G, ∗)un groupe et soit x∈G. Montrer que l’application
(Z,+) →G;m7→ xm,
est un homomorphisme de groupe.
Exercice 5
1. Soit (G, ∗)un groupe tel que x∗x=epour tout x∈G. Montrer que Gest commutatif.
2. Montrer que pour tout k∈N∗, il existe un groupe Gavec 2kéléments tel que x∗x=epour
tout x∈G.
Exercice 6
Soit (G, ∗)un groupe. Soit S(G)le groupe des bijections de l’ensemble G.
1. Soit pour x∈G,l(x)l’application G→Gdéfinie par l(x)(g) := x∗g, g ∈G. Montrer que
l(x)est une bijection de l’ensemble G.
2. Montrer que l’application G→S(G), x 7→ l(x)est un homomorphisme injectif de (G, ∗)dans
le groupe (S(G),◦).
Soit pour x∈G,c(x)l’application de Gdans Gdéfinie par c(x)(g) := x∗g∗g−1, g ∈hG.
1. Montrer que l’application c(c)est une bijection de G.
2. Montrer que l’application c:G→S(G), x 7→ c(x), est un homomorphisme du groupe (G, ∗)
dans le groupe (S(G),◦).
3. Déterminer le noyau de cet homomorphisme.
Exercice 7
1. Soient p, q des entiers naturels. Montrer que pour p, q ∈N, la partie pZ+qZest un sous-
groupe de Z. Trouver r∈N, tel que pZ+qZ=rZ.
2. De même trouver s∈N, tel que sZ=pZ∩qZ
Exercice 8
1. Déterminer tous les sous-groupes du groupe (Z2,+).
2. Déterminer tous les homomorphismes du groupe (Q,+) dans le groupe (R,+).
2