Algèbre Devoir No 1 Exercice 1 Soit f : E → F une application d`un

Algèbre
Devoir No 1
Exercice 1
Soit f : E → F une application d’un ensemble E dans un ensemble F et g : F → G une application
de F dans un ensemble G.
1. Prouver que
g ◦ f surjective et g injective → f surjective.
2. Montrer que
g ◦ f injective → f injective.
3. Montrer que pour toute partie A et toute partie B de E l’on a
f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
4. Montrer que f est injective si et seulement si pour toutes les parties A, B de E
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
5. Soit E un ensemble fini. Montrer que toute application injective f : E → E est bijective et
que toute application surjective g : E → E est aussi bijective.
6. Montrer que pour tout n ∈ N, le groupe Sn des bijections de l’ensemble En = {1, · · · , n}
possède n! éléments.
Exercice 2
3) Soit
(
A=
Munissons A de la multiplication
0
a b
a
·
c d
c0
a b
Soit pour A =
∈ A:
b b
a
b
b
b
b0
d0
)
; a, b, c, d ∈ R, .
=
aa0 + bc0
ca0 + dc0
ab0 + bd0
cb0 + dd0
δ(A) = ad − bc.
Montrer que
δ(A · B) = δ(A)d(B);
Soit G = {A ∈ A;
A, B ∈ A.
δ(A) 6= 0}.
1. Montrer que (G, ·) et un groupe.
2. Déterminer le centre Z = {u ∈ G; u · v = v · u, ∀v ∈ G} de G.
Exercice 3
1. Définissons sur H1 = R3 le produit ∗ par
(x, y, t) ∗ (x0 , y 0 , t0 ) = (x + x0 , y + y 0 , t + t0 + (xy 0 − x0 y)).
Montrer que (H1 , ∗) est un groupe.
1
2. Déterminer le centre
Z = {u ∈ H1 ; u ∗ x = x ∗ u pour tout x ∈ H1 }
de H1 .
Exercice 4
Soit (G, ∗) un groupe et soit x ∈ G. Montrer que l’application
(Z, +) → G;
m 7→ xm ,
est un homomorphisme de groupe.
Exercice 5
1. Soit (G, ∗) un groupe tel que x ∗ x = e pour tout x ∈ G. Montrer que G est commutatif.
2. Montrer que pour tout k ∈ N∗ , il existe un groupe G avec 2k éléments tel que x ∗ x = e pour
tout x ∈ G.
Exercice 6
Soit (G, ∗) un groupe. Soit S(G) le groupe des bijections de l’ensemble G.
1. Soit pour x ∈ G, l(x) l’application G → G définie par l(x)(g) := x ∗ g, g ∈ G. Montrer que
l(x) est une bijection de l’ensemble G.
2. Montrer que l’application G → S(G), x 7→ l(x) est un homomorphisme injectif de (G, ∗) dans
le groupe (S(G), ◦).
Soit pour x ∈ G, c(x) l’application de G dans G définie par c(x)(g) := x ∗ g ∗ g −1 , g ∈ hG.
1. Montrer que l’application c(c) est une bijection de G.
2. Montrer que l’application c : G → S(G), x 7→ c(x), est un homomorphisme du groupe (G, ∗)
dans le groupe (S(G), ◦).
3. Déterminer le noyau de cet homomorphisme.
Exercice 7
1. Soient p, q des entiers naturels. Montrer que pour p, q ∈ N, la partie pZ + qZ est un sousgroupe de Z. Trouver r ∈ N, tel que pZ + qZ = rZ.
2. De même trouver s ∈ N, tel que sZ = pZ ∩ qZ
Exercice 8
1. Déterminer tous les sous-groupes du groupe (Z2 , +).
2. Déterminer tous les homomorphismes du groupe (Q, +) dans le groupe (R, +).
2