Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie I

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie I
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 13
À rendre avant vendredi 24 janvier 2014, 12h00
Exercice 1 (Extensions algébriques)
Soit K⊆Lune extension de corps.
(a) Montrez que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) K⊆Lest une extension finie.
ii) Lest engendré par un nombre fini d’éléments algébriques sur K.
iii) K⊆Lest une extension algébrique de génération finie.
(b) Montrez que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) K⊆Lest une extension algébrique.
ii) Lest engendré par des éléments algébriques sur K.
Exercice 2 (Clôture algébrique)
Soit K⊂Cun corps. Montrez que K:= {α∈C|αest algébrique sur K}est un corps algébri-
quement clos.
Exercice 3 (Trisection de l’angle)
Soit ϕ∈]0,2π[un nombre réel tel que eiϕ soit transcendant. Montrez que eiϕ/3n’est pas
constructible à la règle et au compas à partir de l’ensemble M={0,1, eiϕ}.
Exercice 4 (Construction de polygones réguliers, Bonus)
Soient p∈Nun nombre premier et p6= 2n+1 pour tout n∈N. Montrez que le polygone régulier
àpcôtés n’est pas constructible à la règle et au compas à partir de l’ensemble M={0,1}.
(Rappel : Le polynôme xp−1+xp−2+· · · +x+ 1 est le polynôme minimal de e2πi/p sur Q.)