Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie I Nicolas

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai Algèbre et géométrie I
Nicolas Weisskopf, Rafael Guglielmetti
Série 1
À rendre avant le jeudi 26 septembre, 16h
Exercice 0
Montrez que l’ensemble
a b
c d∈M(2 ×2; Q)|ad −bc = 1
muni du produit matriciel est un groupe.
Le groupe est-il abélien ?
Exercice 1 (Des groupes abéliens)
Soit Gun groupe.
1. Montrer que si Gest un groupe tel que x2=e, pour tout x∈G, alors Gest abélien.
2. Montrer que si Gest un groupe fini abélien, alors
Y
x∈G
x2=e.
Exercice 2 (Encore des matrices)
Montrez que l’ensemble
 a b
−b a∈M(2 ×2; R)|a2+b26= 0
muni du produit matriciel est un groupe.
Le groupe est-il abélien ?
Remarque : Il est possible d’identifier ce groupe avec un groupe bien connu. Voyez-vous
lequel ?
Exercice 3
Soit R\{5}muni de la loi
∗:R\{5} × R\{5} −→ R\{5}
(x, y)7−→ x∗y:= xy −5x−5y+ 30 .
Est-ce que (R\{5},∗)est un groupe ? Justifiez !

Exercice 4 (Union de sous-groupes)
Soit Gun groupe et soient H1, H2des sous-groupes de G. Montrez que H1∪H2est un sous-
groupe de Gsi et seulement si H1⊂H2ou H2⊂H1.
Exercice 5 (Isomorphismes) 1. On considère le groupe C∗.
(a) Montrez que G={1,−1, i, −i}est un sous groupe de C∗.
(b) Montrez que G∼
=Z4=Z/4Z
2. Soit Gun groupe d’ordre 4. Montrez que Gest isomorphe à Z4ou Z2×Z2.