CH04 - Fiche d`exercices - Tivomaths

Première S
Novembre 2015
CH04 - Fiche d’exercices
Thème : Dérivation.
I
Nombre dérivé
II
Exercice 1.
Soient f , g et h les fonctions définies sur R par :
f (x) = −x + 1 , g(x) = x2 − x
et
h(x) = −x2 + 2x
Tangente & nombre dérivé
Exercice 7.
On a représenté la courbe d’une fonction f et certaines
de ses tangentes.
1. Vérifier que f est dérivable en 1 et calculer son
nombre dérivé en 1.
2. Même question pour g et h en −1.
Exercice 2.
1
Soit i la fonction inverse définie sur R∗ par i(x) = .
x
Montrer que i est dérivable en −3 et calculer i′ (−3).
Exercice 3 (Fonction affine).
1. Déterminer le nombre dérivé de la fonction
f : x 7→ 2x − 3 en a = 3 et a = −6.
2. Que peut-on conjecturer ?
3. Déterminer f ′ (a) pour un réel a quelconque.
1. a) Rappeler l’interprétation graphique de f ′ (3).
b) Lire graphiquement f ′ (3).
2. De même, lire f ′ (−5), f ′ (−3) et f ′ (0).
Exercice 4 (Fonction constante (T)).
Soit k un réel fixé.
1. Déterminer le nombre dérivé de la fonction
f : x 7→ k en a = 3 et a = −6.
2. Que peut-on conjecturer ?
3. Déterminer f ′ (a) pour un réel a quelconque.
Exercice 8.
On considère une fonction g admettant la représentation
graphique ci-dessous.
Exercice 5.
1. Soit f : x ∈ R 7→ −2x2 + 3x + 2.
Montrer que f est dérivable en 2 et calculer f ′ (2).
2x − 1
2. Soit g : x ∈ R \ {−5} 7→
.
x+5
Montrer que g est dérivable en 2 et calculer g′ (2).
Exercice 6 (AP).√
Soit f : x ∈ R+ 7→ x3 + 2x + 1.
Voici un algorithme incomplet, écrit avec AlgoBox.
Par lecture graphique, déterminer le signe de :
g′ (−3)
;
g′ (−1)
;
g′ (0)
;
g′
1
2
Å ã
Exercice 9.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x2 + 4x.
1. Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f ′ (1).
2. Déterminer une équation de la tangente T à la
courbe Cf de f au point d’abscisse 1.
1. Compléter cet algorithme afin qu’il renvoie les vaf (a + h) − f (a)
leurs successives du quotient
, pour
h
−n
des valeurs de h égales à 10 , où n décrit les entiers
naturels entre 2 et 10.
2. Tester cet algorithme (sur AlgoBox ou calculatrice)
et conjecturer f ′ (1) puis f ′ (8).
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Exercice 10.
Soit f une fonction de courbe Cf admettant en son point
A d’abscisse −1 une tangente d : y = 2x + 3.
Calculer f (−1) et f ′ (−1).
Exercice 11.
On reprend la fonction inverse i de l’exercice 2.
Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe
de i au point d’abscisse −3.
- 1/3 -
LATEX 2ε
Exercice 12.
Voici une capture d’écran du logiciel de calcul formel
Xcas:
Exercice 14 (AP).
Voici un programme écrit sur calculatrice, sachant que
l’utilisateur a, au préalable, entré une fonction dans Y1 .
Que représentent les valeurs
de sortie de ce programme ?
Expliquer.
III
Utiliser les résultats du logiciel pour répondre aux questions suivantes.
1. Donner une équation de la tangente T à la courbe C
2
de la fonction f en son point d’abscisse .
3
2. Étudier la position de C par rapport à T .
3. Contrôler graphiquement sur la calculatrice.
Exercice 13. (T)
Dans un repère orthonormé d’origine O, C est le demicercle de centre O et de rayon 1 représenté sur la figure
suivante.
Dérivée d’une fonction
Exercice 15.
Calculer f ′ (a) pour :
1. f (x) = x2 et a = −5
2. f (x) = x4 et a = −3
√
3. f (x) = x et a = 4
1
et a = 3
4. f (x) =
x
Exercice 16.
√
On considère la courbe C d’équation y = x.
1. Déterminer une équation de la tangente à C en son
point d’abscisse 4.
1
2. La droite ∆, de cœfficient directeur , est une tan6
gente à C en un point A.
Déterminer les coordonnées de A et préciser l’équation réduite de ∆.
Exercice 17 (Calculs de fonctions dérivées).
Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas
suivants :
1. Somme
1. Justifier que C est la courbe
√ représentative de la
fonction f : x ∈ [ −1 ; 1 ] 7→ 1 − x2 .
1
2. On étudie la dérivabilité de f en .
2
a) Expliquer les calculs suivants réalisés par le logiciel de calcul formel Xcas:
a) f (x) = x2 + 5
√
b) f (x) = x2 + x + 4
c) f (x) = x4 + x3 + x5
b) f (x) = 6x2
c) f (x) = −5x3
b) Prouver que (OA) ⊥ T .
4. Que met en évidence cet exercice ?
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√
1
x+
x
2. Produit par un réel
a) f (x) = 4x
b) On admet les
du logiciel. Quelle est la
Å résultats
ã
1
valeur de f ′
?
2
3. a) Déterminer une équation de la tangente T à C
en A.
d) f (x) =
√
d) f (x) = 12 x
−6
e) f (x) =
x
3. Produit par un réel et somme
1
1
a) f (x) = −2x5 + 3x − x2 −
3
√ 4
3
2
b) f (x) = −x + x 2 + 4x
√
c) f (x) = 8 x − 4x
4x − 1
d) f (x) =
3
x4 + 3x2 − 5x
e) f (x) =
4
√
2
f) f (x) = − 2x + 3 x
x
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LATEX 2ε
e) (T) f (x) = 2x2 − 5x + 1
1
f) (T) f (x) = 2
x −4
4
g) (T) f (x) = 4
x +1
√
2x − 1
h) (T) f (x) = x x +
x+1
i) (T) f (x) = (x2 − 1)(3x3 − 2x2 + 1)
4. Produit de deux fonctions
√
a) f (x) = x x
b) f (x) = 4x(x − 5)
√
c) f (x) = x3 (x − x)
d) f (x) = (3x + 4)(x2 − 5)
√
1
e) f (x) = (3 + x)
x
5. Inverse
1
−1
2
b) f (x) =
x+4
a) f (x) =
x2
c) f (x) =
−5
1 + x2
2x2
x+3
2x2 + 5x + 1
b) f (x) =
x2 + 1
1. Énoncer l’implication réciproque.
2. Cette implication réciproque est-elle vraie ? Justifier.
6. Quotient
a) f (x) =
Exercice 18 (Logique).
La phrase « si f (x) = x2 + 10, alors f ′ (x) = 2x » est
une implication vraie.
√
2 x+3
c) f (x) =
x
7. En vrac. . .
2x + 3
x−5
√
b) f (x) = (2 − x) x
√
c) f (x) = (2 x + 1) x2
√
x x
d) f (x) =
x−2
a) f (x) =
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Exercice 19.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x3 − 3x2 + 3
et de courbe Cf .
1. Montrer que f est dérivable sur R et calculer f ′ (x)
pour tout x ∈ R.
2. Déterminer l’équation réduite de ∆, la tangente à Cf
au point d’abscisse 1.
3. Déterminer les abscisses des points de Cf en lesquels
la tangente à Cf est parallèle à la droite d’équation
réduite y = 9x + 2.
4. Déterminer les abscisses des points de Cf en lesquels
la tangente passe par B(1; 3).
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LATEX 2ε