Tangente / Études graphiques. Dans tous les exercices le plan est

TES
Exercices : Tangente / Études graphiques.
Dans tous les exercices le plan est muni du repère orthonormé (O,~ı,~,).
1. Calculer la fonction dérivée, puis déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative
au point d’abscisse 1 de chacune des fonctions qui suivent (qui sont toutes définies et dérivables sur un
intervalle contenant 1),
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f (x) = 5x2 + x − 115,
7
g(x) =
3x − 5
,
2x + 7
h(x) =
5x
2x2 + 3
et
√
i(x) = 7 x + 3.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ax2 + bx + 1 où a et b sont des coefficients réels.
2.a. Calculer f 0 (x).
2.b. Déterminer a et b sachant que la courbe représentant la fonction f admet au point A(1, 2) une
tangente d’équation y = 3x − 1.
La courbe Cf ci-dessus représente la fonction f ainsi que sa tangente (T ) au point de coordonnées (3, 2).
Cette dernière passe également par le point de coordonnées (0, −4). On admet que la droite y = 0 est
asymptote à Cf lorsque x → −∞. On admet encore que f est strictement croissante sur R .
3.a. Déterminer une équation de (T ).
3.b. On définit la fonction g en posant g(x) =
1
f (x) .
Justifier pourquoi g peut être définie sur R .
3.c. Exprimer g 0 (x) en fonction de f 0 (x).
3.d. Déterminer une équation de la tangente à Cg la courbe représentative de g au point d’abscisse 3.
Soit f définie sur R par f (x) = 3x3 + 3x2 + 2x + 1 et Cf sa courbe représentative.
4.a. Déterminer si Cf possède des tangentes parallèles à la droite (D) d’équation y = x.
4.b. Même question avec la droite (E) d’équation y = − 54 x + 7.
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Soient a, b, c et d des nombres réels. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = ax3 +bx2 +cx+d
dont la courbe représentative Cf dans le plan muni du repère (O,~ı, ~) est donnée ci-dessous. (T ) est la
tangente à Cf au point A et¡(S) est
¢ la tangente à Cf au point C. Les points A, B et C ont respectivement
pour coordonnées (−2, 3), − 32 , 7 et (0, −5).
5.a. Dériver f (x) et trouver l’expression de f 0 (x) en fonction de x, a, b, c et d.
5.b. Déterminer les valeurs de f (−2), f 0 (−2), f (0) et f 0 (0).
5.c. Écrire un système de quatre équations d’inconnues a, b, c et d à partir des résultats précédents.
5.d. Résoudre le système de quatre équations trouvé à la question précédente et en déduire quelles sont
les valeurs de a, b, c et d.
5.e. D’après le graphique Cf admet une tangente (U ) parallèle (et non confondue) à (T ). Déterminer
par le calcul une équation de (U ).
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Soient a, b, c et d des nombres réels. On considère la fonction g définie sur R \ {− dc } par
g(x) =
ax + b
cx + d
dont la courbe représentative Cg dans le plan muni du repère (O,~ı, ~) est donnée ci-dessous. (T ) est la
tangente à Cg au point B d’abscisse 3 et (S) est la tangente à Cg au point A d’abscisse 1. Cg admet
la droite (Γ) : y = 23 comme asymptote horizontale aussi bien lorsque
¡
¢ x → −∞ que lorsque x → +∞.
Cg admet la droite (∆) : x = 23 comme asymptote verticale. C ¡32 , 31
6 ¢ est le point d’intersection entre
7
(T ) et (∆), D(0, 7) est le point d’intersection entre (S) et (T ), E 11
, 0 est le point d’intersection entre
l’axe des abscisses et (S).
6.a. Dériver g(x) et trouver l’expression de g 0 (x) en fonction de x, a, b, c et d.
6.b. Déterminer en s’appuyant sur le graphique les valeurs de g 0 (1) et g 0 (3). On se servira des points
dont les valeurs exactes des coordonnées sont données dans l’énoncé.
6.c. Trouver deux équations d’inconnues a, b, c et d à partir des deux valeurs précédentes.
6.d. Déterminer une troisième équation d’inconnues a et c en utilisant l’asymptote (Γ).
6.e. Déterminer une quatrième équation d’inconnues c et d en utilisant l’asymptote (∆).
6.f. On admet que c = 2. Terminer la résolution du système de quatre équations trouvé à la question
précédente et en déduire quelles sont les valeurs de a, b, c et d et quelle est l’expression explicite de
g(x).
6.g. Calculer g(1) et g(3).
Le graphique ci-dessus est celui de Cu la courbe représentative de la fonction u définie sur l’intervalle
[−5, 5]. Les points A et B ont respectivement pour coordonnées (1, 1) et (3, 0). (T ) est la tangente à
Cu au point A.
7.a. Déterminer u0 (1) puis une équation de (T ).
7.b. On définit une seconde fonction f en posant f = v ◦ u où v désigne la fonction racine carrée.
Justifier pourquoi f est correctement définie sur l’intervalle [−5, 5].
7.c. Calculer f 0 (1) et f (1).
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