Corrigé du contrôle de maths en première sur les polynômes

PS. Correction du contrôle no 1
Exercice 1 (12 points)
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x2 − 3x − 2 et C sa courbe représentative
dans un repère orthonormé.
1. Déterminer les variations de f , puis dresser son tableau de variation.
f est une fonction du second degré avec a = 2 > 0, donc la parabole est tournée
vers le haut.
Calculons les coordonnées du sommet.
−b
3
xS =
= .
2a
4
∆ = b2 − 4ac = 9 − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
−25
−∆
=
.
yS =
4a
8
Ainsi,
x −∞
3/4
+∞
f (x)
−25/8
2. Calculer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
On résout l’équation f (x) = 0.
2
On a vu que
√ ∆ = 25 = 5 > 0.
3−5
1
−b − ∆
=
=− .
x1 =
2a√
4
2
−b + ∆
3+5
x2 =
=
= 2.
2a
4
1
C coupe l’axe des abscisses en A − ; 0 et en B(2; 0).
2
3. Déterminer la position relative de C par rapport à l’axe des abscisses.
Cela revient à étudier le signe de f (x).
f est positive (signe de a, ici a = 2) à l’extérieur des racines, et du signe de (−a)
entre les racines.
x −∞
f (x)
−1/2
+
0
+∞
2
−
0
+
Interprétation :
1
C est au-dessus de l’axe des abscisses lorsque x ∈ −∞; − ∪]2; +∞[.
2
1
C est en-dessous de l’axe des abscisses lorsque x ∈ − ; 2 .
2
4. Tracer C après avoir précisé son sommet et son axe
de symétrie.
3 −25
Le sommet de la parabole est le point S
.
;
4 8
Son axe de symétrie est la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par S,
3
c’est donc la droite d’équation x = .
4
7
6
5
4
C
3
2
1
D
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
5. Soit D la droite d’équation y = 3x + 6.
(a) Tracer D sur le graphique précédent.
Il suffit de déterminer 2 points.
x
y
-2
0
0
6
(b) Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de D et de C.
On résout l’équation f (x) = 3x + 6
2x2 − 3x − 2 = 3x + 6
2x2 − 6x − 8 = 0
x2 − 3x − 4 = 0
∆ = b2 − 4ac
√ = 9 + 16 = 25.
−b − ∆
3−5
x1 =
=
= −1.
2a√
2
3+5
−b + ∆
=
= 4.
x2 =
2a
2
En remplaçant x par −1 dans l’équation de D, y = 3 × −1 + 6 = 3.
En remplaçant x par 4, il vient y = 3 × 4 + 6 = 18.
C et D se coupent en M(−1; 3) et N(4; 18).
6. Déterminer tous les réels p tels que la courbe C n’ait aucun point d’intersection
avec la droite D p d’équation y = 3x + p.
On cherche p de sorte que l’équation f (x) = 3x + p n’ait pas de solution.
2x2 − 3x − 2 = 3x + p
2x2 − 6x + (−2 − p) = 0
∆ = b2 − 4ac = 36 − 4 × 2 × (−2 − p) = 36 + 8 × (2 + p) = 52 + 8p.
L’équation f (x) = 3x + p n’a pas de solution ssi ∆ < 0.
52 + 8p < 0
8p < −52
p < −6, 5
C et Dp n’ont aucun point d’intersection lorsque p < −6, 5.
Exercice 2 (8 points)
Soit f un polynôme de degré 2 tel que f (11) = 181. On suppose de plus que pour tout
réel x, x2 − 2x + 2 6 f (x) 6 2x2 − 4x + 3.
L’objectif de cet exercice est de déterminer f (x).
1. On pose g(x) = x2 − 2x + 2 et h(x) = 2x2 − 4x + 3.
Déterminer les formes canoniques de g(x) et h(x).
g(x) = x2 − 2x + 2
= (x2 − 2x + 1) − 1 + 2
= (x − 1)2 + 1
h(x) =
=
=
=
2x2 − 4x + 3
2(x2 − 2x) + 3
2[(x − 1)2 − 1] + 3
2(x − 1)2 + 1
2. En déduire que pour tout réel x, f (x) > 1.
Comme g(x) = (x − 1)2 + 1, le sommet de la parabole Cg est le point S(1; 1).
Comme a = 1 > 0, la parabole Cg est tournée vers le haut.
Donc g admet un minimum qui est 1 (atteint en 1).
Ainsi, pour tout x ∈ R, 1 6 g(x) 6 f (x).
Pour tout x ∈ R, f (x) > 1.
3. Justifier que f (1) = 1.
On sait que g(1) = 1.
h(1) = 2 − 4 + 3 = 1.
Or, pour tout x ∈ R, g(x) 6 f (x) 6 h(x).
Pour x = 1, il vient donc 1 6 f (1) 6 1.
Donc f (1) = 1.
4. Déterminer alors les réels α et β tel que, pour tout réel x, on ait :
f (x) = a(x − α)2 + β, a étant un réel (On justifiera soigneusement sa réponse).
On sait que f (1) = 1 et que pour tout x ∈ R, f (x) > 1.
Donc 1 est le minimum de la fonction f , correspondant à l’ordonnée du sommet.
Comme f (1) = 1, ce minimum est atteint pour x = 1 (abscisse du sommet).
Dans la forme canonique f (x) = a(x−α)2 +β, α et β sont respectivement l’abscisse
et l’ordonnée du sommet.
On a donc α = 1 et β = 1.
5. Calculer a.
On a donc f (x) = a(x − 1)2 + 1.
Comme f (11) = 181,
a(11 − 1)2 + 1
a × 102 + 1
100a
a
=
=
=
=
181
181
180
1, 8
6. Calculer la forme développée de f (x).
f (x) = 1, 8(x − 1)2 + 1 = 1, 8(x2 − 2x + 1) + 1 = 1, 8x2 − 3, 6x + 2, 8.