Classe de Terminale S MATHEMATIQUES SUIVI 2 `a rendre le

Classe de Terminale S
MATHEMATIQUES
SUIVI 2 à rendre le Jeudi 7 / 12 / 2006
Exercice 1 :
1) Résoudre dans C l’équation :
4z 2 − 12z + 153 = 0.
→
→
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O; −
u ,−
v)
d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C, P d’affixes respectives
3
3
1
zA = + 6i, zB = − 6i, zC = −3 − i, zP = 3 + 2i
2
2
4
5
→
et le vecteur −
w d’affixe : z−
→
w = −1 + 2 i.
a) Déterminer l’affixe zQ du point Q, image du point B par la translation t de
→
vecteur −
w.
b) Déterminer l’affixe zR du point R, image du point P par l’homothétie h de
1
centre C et de rapport − .
3
c) Déterminer l’affixe zS du point S, image du point P par la rotation de centre
π
A et d’angle − .
2
d) Placer les points P , Q, R et S.
3)a) Démontrer que le quadrilatère P QRS est un parallélogramme.
b) Calculer
zR − zQ
.
zP − zQ
En déduire la nature précise du parallélogramme P QRS.
c) Montrer que les points P , Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté (C).
On calculera l’affixe de son centre Ω et son rayon ρ.
4) La droite (AP ) est-elle tangente au cercle (C)?
Exercice 2 :
Soient f et g les fonctions définies sur R par
f (x) =
ex + e−x
2
et
g(x) =
ex − e−x
.
2
1
1) Calculer
(f (x))2 − (g(x))2 .
2) Démontrer que :
3) Exprimer
g(y).
f (2x) = 2(f (x))2 − 1
f (x + y)
et
g(x + y)
et
g(2x) = 2f (x)g(x).
en fonction de f (x), f (y), g(x) et
Exercice 3 :
Soit l’équation différentielle (E) : Y 0 − Y = 4 cos x.
1) Calculer les solutions de l’équation différentielle
(E0 ) : Y 0 − Y = 0.
2) Déterminer des nombres a et b tels que la fonction g définie sur R par
g(x) = a cos x + b sin x
vérifie (E).
3) Démontrer qu’une fonction f est solution de (E) si et seulement si f − g est
solution de (E0 ).
4) En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
2