devoir 5

Terminale STMG2 21 avril 2016
Contrˆole de math´ematiques 5
Exercice I
Calculer les fonctions d´eriv´ees des fonctions suivantes
f(x) = x3+x;g(x) = 1 −5x;h(x) = 4x2−x6
Exercice II
Une fonction fd´efinie sur l’intervalle [−10; 10] admet pour d´eriv´ee f�(x) = 2x−7. D´eter-
miner les variations de fsur [−10; 10].
Exercice III
On donne la fonction fd´efinie sur l’intervalle [0 ; 7] par
f(x) = x3−11x2+ 39x−20.
1. Compl´eter le tableau de valeurs ci-dessous.
x0 1 2 3 4 5 6 7
f(x)
2. Calculer f�(x) o`u f�d´esigne la fonction d´eriv´ee de f.
3. Montrer `a l’aide d’un d´eveloppement que f�(x) = (x−3)(3x−13).
4. En utilisant un tableau de signes, ´etudier le signe de f�et donner le tableau de
variations de la fon¸ction fsur l’intervalle [0 ; 7].
5. Compl´eter le graphique par le trac´e de la courbe repr´esentative Cfde la fonction f.
6. Tracer les tangentes `a Cfen 0 et 7.
10
71
O

Exercice IV
Pour chacune des cinq questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le num´ero de la question et la lettre correspondant `a
la r´eponse choisie. On demande de justifier les r´eponses.
On donne Cfla repr´esentation graphique
d’une fonction fd´efinie et d´erivable sur
l’intervalle −3 ; 3
2.
Cfadmet une tangente horizontale aux
points A(−2 ; 0) et C(0 ; −4).
Dest la tangente `a Cfau point B(−1 ; −2).
Dpasse par le point de coordonn´ees
(0 ; −5). −7
6
1
1
O
Cf
D
1. Le nombre de solutions sur l’intervalle −3 ; 3
2de l’´equation f(x) = 0 est :
a. 1b. 2c. 3
2. Les solutions sur l’intervalle −3 ; 3
2de l’´equation f�(x) = 0 sont :
a. −2 et 1 b. −2 et 0 c. −3 et 0.
3. Le nombre d´eriv´e f�(−1) est ´egal `a :
a. 1,5 b. −2c. −3
4. Une ´equation de la droite Dest :
a. y=−3xb. y=−3x−5c. y=−2x−5.
5. La repr´esentation graphique de la fonction d´eriv´ee f�de la fonction fest :
a.
1
1
O
C1
b.
1
1
O
C2
c.
1
1
O
C3

Terminale STMG2 21 avril 2016
Corrig´e du contrˆole de math´ematiques 5
Exercice I
f(x) = x3+x;f�(x) = 3x2+ 1
g(x) = 1 −5x;g�(x) = −5
h(x) = 4x2−x6;h�(x) = 8x−6x5
Exercice II
Une fonction fd´efinie sur l’intervalle [−10; 10] admet pour d´eriv´ee f�(x) = 2x−7.
Le signe de f�(x) est celui d’une fonction affine qui s’annule en x= 3,5.
Tableau des variations de fsur [−10; 10].
x
f�(x)
f(x)
−10 3,510
−0+
Exercice III
1. x0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -20 9 22 25 24 25 34 57
2.
f�(x) = 3x2−22x+ 39
3. (x−3)(3x−13) = 3x2−13x−9x+ 39 = f�(x)
4.
x0 3 13
37
x−3−0 + +
3x−13 − − 0 +
f�(x) + 0 −0 +
f−20 25 m57
m�23,8

5.
10
13
3
3 71
O
6. Les tangentes en 0 et 7 ont pour coefficients directeurs respectifs
f�(0) = (0 −3)(3 ×0−13) = 39
et
f�(7) = (7 −3)(3 ×7−13) = 32
Exercice IV
1. R´eponse b.
Le nombre de solutions de l’´equation f(x) = 0 est 2.
2. R´eponse b.
Les solutions de l’´equation f�(x) = 0 sont −2 et 0 (l`a o`u existent des tangentes
horizontales).
3. R´eponse c.
Le nombre d´eriv´e f�(−1) est ´egal −3. C’est le coefficient directeur de D.
4. R´eponse b.
Une ´equation de la droite Dest y=−3x−5.
5. R´eponse a.
La repr´esentation graphique de la fonction d´eriv´ee f�de la fonction fest C1. La
fonction d´eriv´ee repr´esent´ee par C1est positive sur [−3; −2] et 0; 3
2: c’est coh´erent
avec la croissance de fsur ces intervalles. La fonction d´eriv´ee repr´esent´ee par C1est
n´egative sur [−2; 0] : c’est coh´erent avec la d´ecroissance de fsur cet intervalle.