devoir 5

Terminale STMG2
21 avril 2016
Contrôle de mathématiques 5
Exercice I
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
f (x) = x3 + x
g(x) = 1 − 5x
;
h(x) = 4x2 − x6
;
Exercice II
Une fonction f définie sur l’intervalle [−10; 10] admet pour dérivée f � (x) = 2x − 7. Déterminer les variations de f sur [−10; 10].
Exercice III
On donne la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 7] par
f (x) = x3 − 11x2 + 39x − 20.
1. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
f (x)
2. Calculer f � (x) où f � désigne la fonction dérivée de f .
3. Montrer à l’aide d’un développement que f � (x) = (x − 3)(3x − 13).
4. En utilisant un tableau de signes, étudier le signe de f � et donner le tableau de
variations de la fonçtion f sur l’intervalle [0 ; 7].
5. Compléter le graphique par le tracé de la courbe représentative Cf de la fonction f .
6. Tracer les tangentes à Cf en 0 et 7.
10
O
1
7
Exercice IV
Pour chacune des cinq questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à
la réponse choisie. On demande de justifier les réponses.
6
On donne Cf la représentation graphique
d’une fonction
f définie
et dérivable sur
�
�
3
.
l’intervalle −3 ;
2
D
1
Cf admet une tangente horizontale aux
points A(−2 ; 0) et C(0 ; −4).
D est la tangente à Cf au point B(−1 ; −2).
D passe par le point de coordonnées
(0 ; −5).
O
1
Cf
�
1. Le nombre de solutions sur l’intervalle −3 ;
−7
�
3
de l’équation f (x) = 0 est :
2
a. 1
b. 2
c. 3
�
�
3
2. Les solutions sur l’intervalle −3 ;
de l’équation f � (x) = 0 sont :
2
a. −2 et 1
b. −2 et 0
c. −3 et 0.
a. 1,5
b. −2
c. −3
b. y = −3x − 5
c. y = −2x − 5.
b.
c.
3. Le nombre dérivé f � (−1) est égal à :
4. Une équation de la droite D est :
a. y = −3x
5. La représentation graphique de la fonction dérivée f � de la fonction f est :
a.
C2
C1
1
1
O
1
O
1
O
1
C3
1
Terminale STMG2
21 avril 2016
Corrigé du contrôle de mathématiques 5
Exercice I
f (x) = x3 + x ; f � (x) = 3x2 + 1
g(x) = 1 − 5x ; g � (x) = −5
h(x) = 4x2 − x6 ; h� (x) = 8x − 6x5
Exercice II
Une fonction f définie sur l’intervalle [−10; 10] admet pour dérivée f � (x) = 2x − 7.
Le signe de f � (x) est celui d’une fonction affine qui s’annule en x = 3,5.
Tableau des variations de f sur [−10; 10].
x
3,5
−10
f � (x)
−
10
+
0
f (x)
Exercice III
1.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
f (x)
-20
9
22
25
24
25
34
57
2.
f � (x) = 3x2 − 22x + 39
3. (x − 3)(3x − 13) = 3x2 − 13x − 9x + 39 = f � (x)
4.
x
−
3x − 13
−
f
13
3
3
x−3
f � (x)
m � 23,8
0
0
+
−
7
+
0
+
0 − 0 +
25
57
−20 � � m �
+
10
O
1
3
13
3
7
5.
6. Les tangentes en 0 et 7 ont pour coefficients directeurs respectifs
f � (0) = (0 − 3)(3 × 0 − 13) = 39
et
f � (7) = (7 − 3)(3 × 7 − 13) = 32
Exercice IV
1. Réponse b.
Le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 est 2.
2. Réponse b.
Les solutions de l’équation f � (x) = 0 sont −2 et 0 (là où existent des tangentes
horizontales).
3. Réponse c.
Le nombre dérivé f � (−1) est égal −3. C’est le coefficient directeur de D.
4. Réponse b.
Une équation de la droite D est y = −3x − 5.
5. Réponse a.
La représentation graphique de la fonction dérivée f � de la fonction
� f est C1 . La
�
fonction dérivée représentée par C1 est positive sur [−3; −2] et 0; 32 : c’est cohérent
avec la croissance de f sur ces intervalles. La fonction dérivée représentée par C1 est
négative sur [−2; 0] : c’est cohérent avec la décroissance de f sur cet intervalle.