Chapitre 3 : Nombre dérivé et tangente

Chapitre 3 : Nombre d´eriv´e et tangente
I Rappels sur les droites
I.1 Tracer une droite connaissant une ´equation
Exercice 1
Tracer les droites (d1) : y=1
2x−3, (d2) : y= 2, et (d3) : x=−4.
Remarque
Les droites d’´equation y=kson parall`eles `a l’axe des abscisses.
Les droites d’´equation x=ksont parall`eles `a l’axe des ordonn´ees. Ce ne sont pas
des repr´esentations graphiques de fonctions, elles n’ont pas de coefficient directeur.
I.2 Calculer ou lire un coefficient directeur `a partir de 2
points
Propri´et´e
Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points dans un rep`ere, avec xA6=xB.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est m=yB−yA
xB−xA
.
Exercice 2
Lire graphiquement le coefficient directeur des droites trac´ees ci-dessous. V´erifier
par le calcul.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
1234567891011−1−2−3
A
B
a
C
D
E F
G
H
d
1

R´eponses : Le coefficient directeur de la droite (AB) est m=−2.
Le coefficient directeur de la droite (CD) est 2
7.
Le coefficient directeur de la droite (EF ) est 0.
Le coefficient directeur de la droite (GH) est −1
3.
II Nombre d´eriv´e, tangente
D´efinition
Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle I. On note Csa courbe repr´esentative
dans un rep`ere du plan. Soit a∈I.
On appelle nombre d´eriv´e de fen a, s’il existe, le coefficient directeur de la tangente
`a Cau point d’abscisse a. On le note f′(a).
Exemple : on a repr´esent´e la fonction carr´e d´efinie par f(x) = x2.
1
2
3
4
−1
−2
12345−1−2−3−4
A
B
C
D
1. On a trac´e la tangente `a Cau point A(−2; 4), c’est la droite (AC).
Aest le point d’abscisse −2.
Donc f′(−2) est le coefficient directeur de la droite (AC).
On lit sur le graphique A(−2; 4) et C(−1; 0).
yC−yA
xC−xA
=0−4
−1−(−2) =−4.
On en d´eduit que f′(−2) = −4.
2. La droite (BD) est la tangente `a la courbe au point Bd’abscisse 1.
f′(1) est le coefficient directeur de la droite (BD).
f′(1) = 2.
Remarque
— Une fonction fest d´erivable en asi sa courbe admet en aune tangente non
parall`ele `a l’axe des ordonn´ees.
2

— On retiendra que f′(a) est le coefficient directeur de la tangente `a la courbe
au point d’abscisse d’abscisse a.
Exercice 3
On a trac´e la courbe Cd’une fonction fet la tangente `a la courbe Cau point A.
1
2
−1
−2
−3
−4
12345678−1−2
A
B
C
1. D´eterminer f′(1). Justifier.
2. La tangente au point Cest parall`ele `a l’axe des abscisses. En d´eduire un
nombre d´eriv´e de f.
3. On admet que f′(4) = −2. Tracer la tangente `a la courbe de fau point
d’abscisse 4. Expliquer la construction.
Remarque (Cas particulier `a retenir)
Soit fune fonction d´erivable en a.
f′(a) = 0 ssi la tangente `a la courbe au point d’abscisse aest parall`ele `a l’axe des
abscisses.
III Fonction d´eriv´ee
D´efinition
Soit fun fonction d´efinie sur un intervalle I.
On dit que fest d´erivable sur Isi fadmet un nombre d´eriv´e en tout r´eel de I,
c’est-`a-dire si pour tout x∈I,f′(x) existe.
Alors, on appelle la fonction d´eriv´ee de fla fonction f′qui `a tout r´eel xde Iassocie
le nombre d´eriv´e f′(x).
III.1 D´eriv´ees des fonctions usuelles
3

Th´eor`eme (`a connaˆıtre par ♥)
Fonction fD´eriv´ee f′Intervalle de validit´e
f(x) = c(fonction constante) f′(x) = 0 I=R
f(x) = x f ′(x) = 1 I=R
f(x) = ax +b f′(x) = a I =R
f(x) = x2f′(x) = 2x I =R
f(x) = ax2+bx +c f′(x) = 2ax +b I =R
f(x) = x3f′(x) = 3x2I=R
f(x) = xnn>1f(x) = nxn−1I=R
f(x) = 1
xf′(x) = −1 x2I=] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[
f(x) = √x f ′(x) = 1
2√xI=]0; +∞[
III.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables
Th´eor`eme
Soient uet vdes fonctions d´erivables sur un intervalle I. Alors :
1. Somme de fonctions.
La fonction (u+v) est d´erivable sur Iet (u+v)′=u′+v′.
2. Diff´erence de fonctions.
La fonction (u−v) est d´erivable sur Iet (u−v)′=u′−v′.
3. Produit par un nombre r´eel.
Soit k∈R(une constante).
La fonction (k×u) est d´erivable sur Iet (k×u)′=k×u′.
Exemple :
f(x) = 5x3+2
x.
4

f′(x) = 5 ×3x2+ 2 ×−1
x2= 15x2−2 x2.
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