1S D´erivation-Exercices corrig´es
5. La fonction jest d´erivable sur ]0 ; +∞[. Pour tout x > 0, on a :
j′(x) = 1
2√x
Par cons´equent, j′(2) = 1
2√2=√2
4et i′1
2=1
2r1
2
=√2
2.
Exercice 5 : Tangente en utilisant les formules de d´erivation
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x2. Soit Cfsa courbe repr´esentative.
1. D´eterminer une ´equation de la tangente (T)`a Cfau point Ad’abscisse 1.
2. Existe-t-il une tangente `a Cfparall`ele `a la droite (d) d’´equationy= 3x−4?
Si oui, d´eterminer les coordonn´ees du point de contact.
Solution :
1. La fonction fest une fon,ction polynˆome, elle est donc d´erivable sur R. Pour tout r´eel x,f′(x) = 2x.
Par cons´equent, la tangente (T)`a Cfau point Ad’abscisse 1 a pour coefficient directeur f′(1) = 2. Son ´equation
est donc
y= 2x+pavec p∈R
De plus, A(1 ; f(1)) ∈(T), donc yA= 2xA+p, c’est-`a-dire f(1) = 2 ×1 + p, d’o`u p= 1 −2 = −1.
Donc
(T) : y= 2x−1
2. La fonction f´etant d´erivable sur R, le coefficient directeur de la tangente `a Cfau point d’abscisse xest f′(x) = 2x.
S’il existe une tangente parall`ele `a la droite (d)alors son coefficient directeur est le mˆeme que (d), c’est-`a-dire 3. On
cherche donc un r´eel xtel que
f′(x) = 3 (∗)
(∗)⇔2x= 3
(∗)⇔x=3
2
Donc Cfadmet une tangente parall`ele `a (d)au point M3
2;f3
2 soit M3
2;9
4.
Exercice 6 : encore une tangente avec un joli calcul de d´eriv´ee
Soit fla fonction d´efinie par f(x) = 2x−3
x2+ 1 . On note Cfla courbe repr´esentative de f.
1. Quel est l’ensemble de d´efinition de f?
2. D´eterminer une ´equation de la tangente T`a Cfau point Ad’abscisse 1.
3. V´erifier le r´esultat sur calculatrice.
Solution :
1. Pour tout r´eel x,x2+ 1 6= 0, donc fest d´efinie sur R.
2. La fonction fest de la forme u
vavec u(x) = 2x−3et v(x) = x2+ 1.
Les fonction suet vsont des fonctions polynˆomes, elles sont donc d´erivables sur leur ensemble de d´efinition R. On a
alors, pour tout r´eel x:
u′(x) = 2 et v′(x) = 2x.
De plus, la fonction vne s’annule pas sur R, donc fest d´erivable sur R. Pour tout r´eel x:
f′(x) = u′(x)×v(x)−u(x)×v′(x)
v2(x)=2(x2+ 1) −(2x−3) ×2x
(x2+ 1)2=−2x2+ 6x+ 2
(x2+ 1)2
La fonction fest donc d´erivable en a= 1 et f′(1) = −2×12+ 6 ×1 + 2
(12+ 1)2=3
2.
Le coefficient directeur de la tangente T`a Cfau point Ad’abscisse 1est donc f′(1) = 3
2.
Donc Ta pour ´equation y=3
2x+po`u p∈R.
De plus, A(1;f(1)) ∈T, donc yA=3
2xA+p, soit −1
2=3
2+p, donc p=−2.
D’o`u
T:y=3
2x−2
4