Probléme : Nombres Complexes.

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Probl´eme : Nombres Complexes.
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I. Soit (O, i, j) un rep´ere orthonorm´e, fet gdeux applications de Cvers Cd´efinies par :
f(z) = z3+ 4(1 −i)z2−2(2 + 7i)z−16 + 8i
g(z) = z3+ 2 −2i
1. D´eterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes zv´erifiant g(z) = 0.
Repr´esenter les points dont les affixes sont les nombres trouv´es et d´emontrer que ces points forment un
triangle ´equilat´eral.
2. D´emontrer qu’il existe un et un seul r´eel r, que l’on d´eterminera, qui v´erifie f(r) = 0.
D´eterminer les deux nombres complexes a et b de facon `a avoir :
f(z) = (z−r)(z2+az +b) pour tout zde C.
3. R´esoudre l’´equation : z∈C, f(z) = 0.
D´emontrer que les points dont les affixes sont les solutions de cette ´equation forment un triangle rectangle
dans le plan P.
On notera Ccelui dont l’affixe est r´eelle, Acelui dont l’affixe a une partie r´eelle n´egative, et Ble dernier.
II. A tout point Mde Pd’affixe zon associe le point M0de Pd’affixe : f(z)−g(z).
1. D´eterminer les coordonn´ees (x0, y0) de M0dans le rep´ere (O, i, j) en fonction des coordonn´ees (x, y) de
Mdans le m´eme rep´ere.
2. A, B, C sont les points d´efinis en I.3.Donner une ´equation de l’ensemble H1des points Mde Ptels que
O, B et M0soient align´es.
D´emontrer que H1est une hyperbole dont on pr´ecisera le centre et les asymptotes.
3. Donner une ´equation de l’ensemble H2des points Mde Ptels que O, I et M0soient align´es, I ´etant le
centre de gravit´e de A, B et C.
D´emontrer que H2est une hyperbole dont on pr´ecisera le centre et les asymptotes.
( On pourra, par exemple, donner une ´equation de H2sous la forme y=ϕ(x) )
4. D´emontrer qu’un point Mest commun `a H1et H2si et seulement si M0est confondu avec O.
R´esoudre l’´equation : z∈C, f (z) = g(z).
En d´eduire les points communs `a H1et H2.
Construire H1et H2dans le rep´ere (O, i, j).
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