Mécanique Du Point (sup) ω θ

MP * M´ ecanique Du Point (sup) 2013/14
I Bille sur une sph`ere 1
O
θ
a
M (m)
Une bille Mde masse mse d´eplace sans frottements sur une sph`ere de rayon a.` At= 0, M
est en O, sans vitesse initiale.
D´eterminer l’angle θ0pour lequel Mquitte la sph`ere, ainsi que sa vitesse en ce point.
Quelle est la suite du mouvement ?
α
O
m
A
II Oscillations d’un pendule 2
Une masse ponctuelle mest attach´ee `a l’extr´emit´e d’un fil de longueur 5a, fix´e en un
point O.
Au point Asitu´e sur la verticale de O, tel que OA = 4a, est plac´e un clou.
On lˆache la masse, sans vitesse initiale, le fil faisant un angle αavec la verticale.
´
Etudier le mouvement de la masse m.
III Record de vitesse `a skis 3
Un skieur de masse m= 80 kg glisse sans frottement sur une piste rectiligne faisant un angle α= 45◦avec
l’horizontale. Il subit de la part de l’air une force de frottement fluide R=1
2kSv2o`u S= 0,4m2et k= 0,8
(coefficient a´erodynamique). Le skieur part sans vitesse initiale. On prendra g= 9,8m.s−2.
1. Montrer que le skieur atteint une vitesse limite vl. Commenter.
2. Montrer que la vitesse varie avec le temps selon la loi v
vl
=et/τ −e−t/τ
et/τ +e−t/τ , o`u τest un temps caract´eristique
dont on donnera la valeur num´erique. Quel temps faut-il au skieur pour atteindre la vitesse limite au pour cent
pr`es ?
3. D´eterminer l’´equation horaire du mouvement : x(t).
4. Le coefficient dynamique de frottement des skis sur la neige n’est plus nul mais vaut f= 0,05. Quelle est la
nouvelle vitesse limite ?
IV D´eviation vers l’Est 4
A
y (Nord)
M (m)
z
x (Est)
Un objet de masse mest lˆach´e `a t= 0 `a l’altitude h`a la verticale du point A, sans
vitesse initiale.
´
Etablir l’expression de la d´eviation subie par l’objet `a son arriv´ee au sol.
AN : h= 100 met A≡Grenoble.
V Tige en rotation 5
ω
xθ
OM
X
Y
z
y
Une tige, port´ee par un axe OX, est en mouvement de rotation uniforme autour d’un axe
fixe Oz, `a la vitesse angulaire ω.
`
A l’instant t= 0, OX est confondu avec l’axe Ox. Un anneau Mcoulisse le long de la
tige, tel que : OM = X(t) = X0ch(ωt).
1. D´eterminer les acc´el´erations d’entraˆınement et de Coriolis dans la base tournante
O, −→
I,−→ J.
2. Retrouver le r´esultat X(t) = X0ch(ωt).
3. D´eterminer la r´eaction de la tige sur l’anneau.
VI Cerceau en rotation 6
g
ω
M
O
θ
Un cerceau de rayon Rtourne `a la vitesse angulaire ωconstante autour de son diam`etre vertical.
Un anneau de masse mpeut coulisser sans frottement sur ce cerceau.
1. D´eterminer les positions d’´equilibre relatif de l’anneau. Mettre en ´evidence une valeur critique
de la vitesse angulaire qu’on notera ωc.
2. ´ Etudier la stabilit´e des positions d’´equilibre d´etermin´ees en 1.
3. Calculer la p´eriode des petites oscillations autour des positions d’´equilibre stable. Pour cela,
on posera θ=θ´eq +ε(avec ε1), et on r´esoudra l’´equation v´erifi´ee par ε.
1sin θl=2
32cos β= 1 −10 sin2(α/2) amplitude maxi 3vl=q2mg sin α kS = 58,9m/s ;τ=2m kSvl= 8,5s;x(t) = τ vlln[ch(t/τ)]
4∆x=ω
3q(2h)3 gcos λ= 1,5cm 5Ry= 2mω2X0sh(ωt) ; Rz=mg 6ωc=pg/R ;θ´eq = 0, Acos(ω2
c/ω2) et π; Ω = pω2 c−ω2
ou √ω4−ω4
c
ω

VII Syst`eme de 2 points 7
On consid`ere une masselotte m1, qui arrive avec une vitesse v0sur un ressort, lequel a une masselotte m2fix´ee `a
son autre extr´emit´e. Le ressort est initialement au repos.
D´eterminer l’´elongation maximale du ressort.
D´eterminer une condition pour que les deux masselottes repartent dans le mˆeme sens. Donner alors leurs vitesses
`a l’infini.
VIII Mouvement hyperbolique attractif 8
θ
r
d
O x
y(D)
M
Un ´electron, initialement lanc´e `a la vitesse v0sur la droite (D) parall`ele `a l’axe
Ox d’un rep`ere galil´een, se dirige de l’infini (x < 0) vers une charge q > 0
suppos´ee fixe en O, situ´ee `a une distance dde la droite (D).
1. Exprimer le moment cin´etique σoen fonction de v0,m, et d.
2. Donner l’´energie potentielle Epde l’´electron en fonction de r.
On admet (formules de Binet) que le changement de variable u= 1/r permet
de mettre l’´energie cin´etique sous la forme : Ec=σ2
o
2m"du dθ 2
+u2#.
3. ´ Etablir l’´equation diff´erentielle r´egissant les variations de u(θ). On expri-
mera les r´esultats en fonction de p=4πεoσ2
o
meq .
4. Montrer que les solutions sont du type u=B+A.cos(θ−θ0) o`u Bet les constantes d’int´egration A(A > 0)
et θ0seront exprim´es en fonction de pet d.
5. Dans le cas particulier o`u p=d, d´eterminer Aet θ0. Donner l’´equation polaire de la trajectoire avec origine
en O. Repr´esenter graphiquement la trajectoire et les asymptotes. Pr´ecisez son excentricit´e, la distance minimum
d’approche et la d´eviation Dsubie par l’´electron apr`es interaction avec la charge q.
IX Utilisation du vecteur excentricit´e 9
On consid`ere une particule en mouvement dans un champ de force newtonien −→ F = −K
r2
−→
ur.
1. ´ Etablir l’´equation diff´erentielle liant le vecteur vitesse −→ v au vecteur unitaire orthoradial −→ uθdirectement
perpendiculaire `a −→ urdans le plan du mouvement.
2. Cette relation s’int`egre sous la forme −→ v = α(−→ uθ+−→ e ) o`u −→ e est un vecteur constant appel´e vecteur excen-
tricit´e et αune constante que l’on exprimera en fonction de K, de la masse mdu point mat´eriel et de la constante
des aires C.
3. Calculer le produit scalaire (−→ v·−→ uθ) ; en d´eduire l’´equation polaire de la trajectoire sous la forme : r(θ) =
p
1 + e. cos(θ−θ0)o`u ed´esigne la norme du vecteur −→
e et θ0l’angle (Oy;−→ e ). Exprimer le param`etre pen fonction
de m,Ket C.
4. Montrer que l’on peut, sans utiliser la formule de Binet, exprimer l’´energie totale Esous la forme E=
ke2−1. Exprimer ken fonction de K,C, et m.
5. Conclure et repr´esenter le vecteur excentricit´e dans le cas d’une trajectoire elliptique.
X Utilisation d’un portrait de phase 10
On consid`ere le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti com-
pos´e d’une masse m= 500 gsoumise `a une force de rappel ´elastique
(ressort de raideur k) et `a une force de frottement fluide −λ~v,~v ´etant la
vitesse de la masse m, et xl’´ecart `a la position d’´equilibre.
L’´etude est r´ealis´ee dans le r´ef´erentiel du laboratoire, suppos´e galil´een.
1. D´eterminer la nature du r´egime de l’oscillateur.
2. D´eterminer par lecture graphique : la position initiale x0; la position
finale xf; la pseudo-p´eriode Ta; le d´ecr´ement logarithmique δ.
3. En d´eduire la pulsation propre ω0, le facteur de qualit´e Qde l’oscil-
lateur, la raideur kdu ressort, et le coefficient de frottement fluide λ.
7Xmin =l0−v0qµ
k;v∞
1=m1−m2
m1+m2v08d2u
dθ2+u=1
p; cos θ0=1 pA ;A=q1
p2+1 d2;dmin =d(√2−1)
9α=K
mC ;p=mC2 K
10 δ=ω0Ta
2Q;ωa=ω0q1−1
4Q2;Q= 2,5 ; k= 52 N/m ;λ= 2,01 s−1