Mécanique Du Point (sup) ω θ

MP *
2013/14
Mécanique Du Point (sup)
I Bille sur une sphère
M (m)
O
1
Une bille M de masse m se déplace sans frottements sur une sphère de rayon a. À t = 0, M
est en O, sans vitesse initiale.
θ
Déterminer l’angle θ0 pour lequel M quitte la sphère, ainsi que sa vitesse en ce point.
Quelle est la suite du mouvement ?
a
II Oscillations d’un pendule 2
Une masse ponctuelle m est attachée à l’extrémité d’un fil de longueur 5a, fixé en un
point O.
Au point A situé sur la verticale de O, tel que OA = 4a, est placé un clou.
On lâche la masse, sans vitesse initiale, le fil faisant un angle α avec la verticale.
Étudier le mouvement de la masse m.
O
α
m
A
III Record de vitesse à skis 3
Un skieur de masse m = 80 kg glisse sans frottement sur une piste rectiligne faisant un angle α = 45◦ avec
l’horizontale. Il subit de la part de l’air une force de frottement fluide R = 12 kSv 2 où S = 0, 4 m2 et k = 0, 8
(coefficient aérodynamique). Le skieur part sans vitesse initiale. On prendra g = 9, 8 m.s−2 .
1. Montrer que le skieur atteint une vitesse limite vl . Commenter.
et/τ − e−t/τ
v
2. Montrer que la vitesse varie avec le temps selon la loi
= t/τ
, où τ est un temps caractéristique
vl
e + e−t/τ
dont on donnera la valeur numérique. Quel temps faut-il au skieur pour atteindre la vitesse limite au pour cent
près ?
3. Déterminer l’équation horaire du mouvement : x(t).
4. Le coefficient dynamique de frottement des skis sur la neige n’est plus nul mais vaut f = 0, 05. Quelle est la
nouvelle vitesse limite ?
IV Déviation vers l’Est
4
Un objet de masse m est lâché à t = 0 à l’altitude h à la verticale du point A, sans
vitesse initiale.
Établir l’expression de la déviation subie par l’objet à son arrivée au sol.
AN : h = 100 m et A ≡ Grenoble.
V Tige en rotation
z
M (m)
y (Nord)
5
Une tige, portée par un axe OX, est en mouvement de rotation uniforme autour d’un axe
fixe Oz, à la vitesse angulaire ω.
À l’instant t = 0, OX est confondu avec l’axe Ox. Un anneau M coulisse le long de la
tige, tel que : OM = X(t) = X0 ch(ωt).
Déterminer
les accélérations d’entraı̂nement et de Coriolis dans la base tournante
1.−
→ −
→
O, I , J .
2. Retrouver le résultat X(t) = X0 ch(ωt).
3. Déterminer la réaction de la tige sur l’anneau.
VI Cerceau en rotation
z
ω
Y
O
x
sin θl =
2
3
q
∆x = ω
√ 4 34
ω −ωc
ou
4
2
cos β = 1 − 10 sin2 (α/2) amplitude maxi
(2h)3
g
cos λ = 1, 5 cm
5
y
M
θ
X
6
Un cerceau de rayon R tourne à la vitesse angulaire ω constante autour de son diamètre vertical.
Un anneau de masse m peut coulisser sans frottement sur ce cerceau.
1. Déterminer les positions d’équilibre relatif de l’anneau. Mettre en évidence une valeur critique
de la vitesse angulaire qu’on notera ωc .
2. Étudier la stabilité des positions d’équilibre déterminées en 1.
3. Calculer la période des petites oscillations autour des positions d’équilibre stable. Pour cela,
on posera θ = θéq + ε (avec ε 1), et on résoudra l’équation vérifiée par ε.
1
x (Est)
A
3
vl =
q
2mg sin α
kS
Ry = 2mω 2 X0 sh(ωt) ; Rz = mg
6
ω
g
O
θ
M
2m
= 58, 9 m/s ; τ = kSv
= 8, 5 s ; x(t) = τ vl ln[ch(t/τ )]
l
p
p
ωc = g/R ; θéq = 0, Acos(ωc2 /ω 2 ) et π ; Ω = ωc2 − ω 2
VII Système de 2 points 7
On considère une masselotte m1 , qui arrive avec une vitesse v0 sur un ressort, lequel a une masselotte m2 fixée à
son autre extrémité. Le ressort est initialement au repos.
Déterminer l’élongation maximale du ressort.
Déterminer une condition pour que les deux masselottes repartent dans le même sens. Donner alors leurs vitesses
à l’infini.
VIII Mouvement hyperbolique attractif
8
Un électron, initialement lancé à la vitesse v0 sur la droite (D) parallèle à l’axe
Ox d’un repère galiléen, se dirige de l’infini (x < 0) vers une charge q > 0
supposée fixe en O, située à une distance d de la droite (D).
1. Exprimer le moment cinétique σo en fonction de v0 , m, et d.
2. Donner l’énergie potentielle Ep de l’électron en fonction de r.
On admet (formules de Binet) que le changement de "
variable u = 1/r
# permet
2
2
du
σ
de mettre l’énergie cinétique sous la forme : Ec = o
+ u2 .
2m
dθ
y
M
(D)
θ
r
O
d
x
3. Établir l’équation différentielle régissant les variations de u(θ). On expri4πεo σo2
.
mera les résultats en fonction de p =
meq
4. Montrer que les solutions sont du type u = B + A.cos(θ − θ0 ) où B et les constantes d’intégration A (A > 0)
et θ0 seront exprimés en fonction de p et d.
5. Dans le cas particulier où p = d, déterminer A et θ0 . Donner l’équation polaire de la trajectoire avec origine
en O. Représenter graphiquement la trajectoire et les asymptotes. Précisez son excentricité, la distance minimum
d’approche et la déviation D subie par l’électron après interaction avec la charge q.
IX Utilisation du vecteur excentricité
9
→
−
K→
On considère une particule en mouvement dans un champ de force newtonien F = − 2 −
ur .
r
→
−
→ directement
1. Établir l’équation différentielle liant le vecteur vitesse v au vecteur unitaire orthoradial −
u
θ
→
−
perpendiculaire à ur dans le plan du mouvement.
→
→+−
→
→
2. Cette relation s’intègre sous la forme −
v = α (−
u
e ) où −
e est un vecteur constant appelé vecteur excenθ
tricité et α une constante que l’on exprimera en fonction de K, de la masse m du point matériel et de la constante
des aires C.
→
→) ; en déduire l’équation polaire de la trajectoire sous la forme : r(θ) =
3. Calculer le produit scalaire (−
v ·−
u
θ
p
→
→
où e désigne la norme du vecteur −
e et θ0 l’angle (Oy; −
e ). Exprimer le paramètre p en fonction
1 + e. cos(θ − θ0 )
de m, K et C.
4. Montrer
que l’on peut, sans utiliser la formule de Binet, exprimer l’énergie totale E sous la forme E =
k e2 − 1 . Exprimer k en fonction de K, C, et m.
5. Conclure et représenter le vecteur excentricité dans le cas d’une trajectoire elliptique.
X Utilisation d’un portrait de phase
10
On considère le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique
(ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide −λ~v , ~v étant la
vitesse de la masse m, et x l’écart à la position d’équilibre.
L’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.
1. Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.
2. Déterminer par lecture graphique : la position initiale x0 ; la position
finale xf ; la pseudo-période Ta ; le décrément logarithmique δ.
3. En déduire la pulsation propre ω0 , le facteur de qualité Q de l’oscillateur, la raideur k du ressort, et le coefficient de frottement fluide λ.
7
9
Xmin = l0 − v0
K
q
µ
k
mC 2
; v1∞ =
10
m1 −m2
m1 +m2
ω0 Ta
v0
8 d2 u
dθ 2
q
+u =
1
1
p
; cos θ0 =
1
pA
;A=
q
1
p2
+
1
d2
√
; dmin = d( 2 − 1)
−1