Comment perdre des points : solutions

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Comment perdre des points : solutions
1. La fonction f:x7→ x√xest-elle d´erivable en 0 ?
a) Il n’existe aucun th´eor`eme permettant de savoir si le produit u×vest d´erivable
lorsqu’on sait que uest d´erivable et que vne l’est pas.
b) confusion entre continuit´e et d´erivabilit´e.
Solution : il faut calculer le taux d’accroissement f(x)−f(0)
x−0=√x. Sa limite en
0 est r´eelle, donc fest d´erivable.
2. Quel est l’ensemble Edes valeurs que prend f:x7→ xln(x)quand xvarie dans ]0; e]?
a) La limite de fen 0 n’est pas −∞
b) l’image de ]a;b] par fn’est pas forc´ement ]lim
x→af(x); f(b)]
Solution : il faut calculer la d´eriv´ee, ´etudier son signe, en d´eduire le sens de variation.
Il y a un minimum en 1
e. On calcule la limite en 0, c’est 0 (on le retrouve par les
croissances compar´ees en posant X=1
x). On compare avec la valeur en e, qui est
e.
Donc d’apr`es le th´eor`eme de la bijection continue, l’image est [f1
e;e].
3. Calculer la d´eriv´ee de f:x7→ ln(2x+ 1)
Erreur : mauvaise formule 1
upour une fonction compos´ee. La bonne est u0 u
4. Soit fune fonction paire, et Fune primitive de F.Fest-elle impaire ?
Il est vrai que G:x7→ −F(−x) est une primitive de f(d´eriver pour v´erifier). Mais
fa une infinit´e de primitives, dont Fet G, et Fn’est pas forc´ement ´egale `a G.
Autrement dit : «F0=G0»n’implique pas «F=G».
Contre-exemple : F= 1, f= 0. fest paire, Fn’est pas impaire.
5. R´esoudre e2x+e−x= 2.
Erreur : machin du truc (la somme des exponentielles n’est pas l’exponentielle de
la somme).
Solution : poser X=ex. L’´equation s’´ecrit X3−2X+ 1 = 0.
Elle a une solution ´evidente X= 1.
On factorise X3−2X+ 1 = (X−1)(aX2+bX +c).
On trouve a, b, c par identification. : X3−2X+ 1 = (X−1)(X2+X−1).
On trouve les valeurs de X: 1; 1 + √5
2;1−√5 2.
On ne conserve que celles qui sont >0 et on prend le logarithme.
Les solutions pour xsont : 0 et ln 1 + √5
2!
En observant la courbe, tout le monde devrait conjecturer qu’il y a exactement deux
solutions, l’une ´etant 0.
6. Etudier le sens de variation de f:x7→ xe−x2
Erreur dans la d´eriv´ee : la d´eriv´ee de eun’est pas eu, mais u0eu.
f0(x) = (1 −2x2)e−x2
fest d´ecroissante jusqu’`a −1
√2, croissante jusqu’`a 1 √2, puis d´ecroissante.
Les limites en −∞ et +∞sont 0. Pour le d´emontrer, il faut faire un changement
de variable X=x2(x=√X) et appliquer les croissances compar´ees.
7. R´esoudre e2x+1 = cos 5π
8
cos 5π
8<0car π 2<5π 8< π, donc l’´equation n’a pas de solution.
8. R´esoudre ln(x+ 1) + ln(x+ 3) −ln(x+ 2) = 0
a) Oubli du domaine de d´efinition
b) Mauvaise interpr´etation du domaine de d´efinition : le probl`eme n’est pas le signe
de x, mais celui de x+ 1 ; x+ 2 et x+ 3.
R´eponse : le domaine est ] −1; +∞[. Mˆemes calculs, mais on ne garde que les
solutions >−1. Il n’y en a qu’une : x=−3 + √5
2
9. Calculer la limite de un=nln 1 + 1
nlorsque ntend vers +∞.
a) Il n’y a aucun th´eor`eme permettant de conclure pour une forme «+∞ × (>0)
», parce qu’une fonction qui reste >0 peut quand mˆeme tendre vers 0, ce qui
donnerait une forme ind´etermin´ee (ce qui est le cas ici).
Le th´eor`eme voisin est : si utend vers +∞et si vtend vesr un r´eel a > 0, alors uv
tend vers +∞(non applicable ici).

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b) Erreur : la forme ind´etermin´ee «0× ∞ »n’est pas vue.
Solution : changement de variable x=1
n. On obtient lim
x→0
ln(1 + x)
x= 1 (limite du
cours, taux d’accroissement).
En observant la courbe, personne ne devrait r´epondre autre chose que 1.
Remarque : on en d´eduit lim
n→+∞1 + 1
nn
=e, ce qui est une fa¸con d’avoir des
valeurs approch´ees de e.
10. Soit u(x) = 1 + ln(1 + √x). Calculer lim
x→+∞
u(x), puis lim
x→+∞
x2−eu(x)
Erreur : mauvaise interpr´etation des croissances compar´ees. Les croissances com-
par´ees ne s’appliquent pas `a eu(x), mais `a exseulement.
M´ethode g´en´erale : changement de variable, poser X=u(x).
Ici on peut simplifier un peu, car l’exponentielle et le logarithme sont r´eciproques :
f(x) = x2−e×(1 + √x). le terme le plus fort `a mettre en facteur est x2(calcul `a
faire). On trouve une limite +∞.
Ici, la faible croissance du logarithme a compens´e la forte croissance de l’exponen-
tielle.
En observant la courbe, personne ne devrait r´epondre −∞.
11. Soit la suite ud´efinie par u0= 3 et un+1 =un2
4. Etudier le sens de variation de u.
Dans une suite suite r´ecurrente un+1 =f(un), il n’y a aucune raison a priori pour
que le sens de variation de usoit le mˆeme que celui de f.
Ici u1< u0et un< un+1 ⇒f(un)< f(un+1) (ici la croissance de fintervient),
donc par r´ecurrence uest d´ecroissante, ce qu’on observe sur l’escalier de r´ecurrence
(faites-le).
12. Soit un=1
12+1 22+1 32+1 42+··· +1 n2. Etudier la convergence de u.
uest croissante et major´ee par la constante 1, donc elle est convergente : oui.
Mais elle n’a pas pour limite 1 (on ne demandait pas la limite ici, donc autant ne
pas prendre de risques).
Une suite peut ˆetre croissante et major´ee par Mmais pourtant ne pas avoir pour
limite M(c’est parce que Mn’est pas forc´ement le plus petit majorant).
13. Trouver un majorant de I=Zln(√2−1)
0
1
1 + t2dt
Mauvaise application de l’in´egalit´e de la moyenne. Ici ln(√2−1) <0 car √2<2,
donc il faut inverser le sens de l’in´egalit´e. Mais alors on n’a plus un majorant mais
un minorant.
Pour trouver un majorant, il faut au contraire commencer par trouver un minorant
de la fonction, ici 0 car 1
1 + t2>0.
On applique alors l’in´egalit´e de la moyenne en inversant le sens.
Conclusion : I60. 0 est un majorant de l’int´egrale.
14. Combien de listes de 4 chiffres peut-on former avec les chiffres 2, 0, 0, 8 ?
Erreur : en comptant ainsi, on compte deux fois chaque liste, car les 0 ne sont pas
discernables. Donc la r´eponse s’obtient en divisant par 2 (principe du berger) : 12.
Ou bien : On choisit les places des deux 0 : 4
2= 6 possibilit´es.
On place le 2 : 2 possibilit´es restantes.
La place du 8 est alors oblig´ee.
Donc finalement 6 ×2×1 = 12.
Ici les nombres ne sont pas grands, v´erifiez en ´enum´erant toutes les possibilit´es.
15. On lance un d´e. On obtient un r´esultat n.
Erreur : la probabilit´e d’une r´eunion n’est pas toujours la somme des probabilit´es.
Il faut que les ´ev´enements soient disjoints, ce qui n’est pas le cas ici (6 est `a la fois
divisible par 2 et par 3).
P(A) = P(D∪T) = P(D) + P(T)−P(D∩T) = 3
6+2 6−1 6=2 6.
Donc P(A) = 1 −2
6=4 6=2 3
16. Dans une usine [...]
2. On tire un composant au hasard, on constate que le test est n´egatif. Quelle est alors
la probabilit´e qu’il fonctionne ?
Erreur : PT(F) n’est pas ´egal `a 1 −PT(F). A ne pas confondre avec PTF.
Ici, appliquer la m´ethode d’inversion d’arbre.
17. Soit z= sin25π
8+isin 5π 8cos 5π 8.
Calculer le module et l’argument de 1−z.
On a bien A= cos 5π
8e−i5π/8
Mais la forme reiθ n’est pas forc´ement la forme exponentielle. Il faut que r > 0.
Or ici cos 5π
8<0 (toujours la mˆeme valeur pi`ege).
Donc |1−z|=−cos 5π
8et arg(z) = 3π 8(c’est π+θ). Voir cours.
18. Soit Ad’affixe 1, B(2 + 3i),C(3 + i). Calculer arg CA
CB .
Erreur d’interpr´etation des notations.
CA n’est pas z−→
CA =zA−zC, mais |zA−zC|, qui est un r´eel positif (une distance).
arg CA
CB = 0 car CA CB est un r´eel positif (pas besoin de calculs, c’est un pi`ege).

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19. D´eterminer l’intersection des deux plans Pet Qd’´equations 4x+ 3y+z−1=0et
2x+ 2y+z+ 2 = 0
Erreur : le syst`eme 4x+ 3y+z−1=0
2x+ 2y+z+ 2 = 0 n’est pas ´equivalent `a l’unique ´equation
4x+ 3y+z−1=2x+ 2y+z+ 2.
Dans l’espace, l’´equation y=−2x+ 2 repr´esente un plan, pas une droite.
Ce que prouvent les calculs, c’est que l’intersection est incluse dans le plan
d’´equation y=−2x+ 2, mais cela ne suffit pas.
On r´esout le syst`eme en prenant une des coordonn´ees comme param`etre, et on
trouve la repr´esentation param´etrique d’une droite.
20. R´esoudre xln(x) = −2
e2sur 0; 1 2
L’´equation s’´ecrit xln(x) = 1
e2ln 1 e2: oui, mais aucun principe d’identification
ne peut s’appliquer ici.
Le principe d’identification peut s’appliquer quand on a une identit´e, c’est-`a-dire
une ´egalit´e vraie pour tout x(une ´egalit´e entre fonctions). Ce n’est pas le cas ici.
Ce que prouvent les calculs, c’est qu’il y a au moins une solution : 1
e2, mais cela ne
dit pas que c’est la seule. Et effectivement, ce n’est pas la seule, il y en a exactement
une autre, ce que prouve le th´eor`eme de la bijection continue (´etudier les variations
de la fonction). Mais on ne sait pas calculer exactement cette solution.
Personne ne devrait r´epondre qu’il n’y a qu’une solution : observer la courbe.
21. Soit A(√3 + i)et B(2i). d´emontrer que OAB est un triangle ´equilat´eral.
Il ne suffit pas qu’un triangle ait un angle de π
3pour qu’il soit ´equilat´eral !
Dit autrement : il ne suffit pas qu’un nombre complexe zait un argument θpour
qu’il soit ´egal `a eiθ. Il faut aussi calculer son module r, et alors z=reiθ .
Ici il faut prouver que 
2i
√3 + i
= 1, ce qu’on peut prouver avec le rapport des
modules |2i|
|√3 + i|
Ou bien, on montre : 2i=eiπ/3(√3 + i), donc Best l’image de Apar la rotation
de centre Oet d’angle π
3.
Pour avoir une rotation d’angle θ, il ne suffit pas d’avoir un angle θ, il faut aussi
avoir des longueurs ´egales : OA =OB et −→ OA, −−→ OB=π
3.