Comment perdre des points : solutions

Comment perdre des points : solutions
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Comment perdre des points : solutions
√
1. La fonction f : x 7→ x x est-elle dérivable en 0 ?
a) Il n’existe aucun théorème permettant de savoir si le produit u × v est dérivable
lorsqu’on sait que u est dérivable et que v ne l’est pas.
b) confusion entre continuité et dérivabilité.
√
f (x) − f (0)
Solution : il faut calculer le taux d’accroissement
= x. Sa limite en
x−0
0 est réelle, donc f est dérivable.
2. Quel est l’ensemble E des valeurs que prend f : x 7→ x ln(x) quand x varie dans ]0; e] ?
a) La limite de f en 0 n’est pas −∞
b) l’image de ]a; b] par f n’est pas forcément ] lim f (x); f (b)]
√
√
1+ 5 1− 5
On trouve les valeurs de X : 1;
;
.
2
2
On ne conserve que celles qui sont > 0 et on!prend le logarithme.
√
1+ 5
Les solutions pour x sont : 0 et ln
2
6.
x→a
Solution : il faut calculer la dérivée, étudier son signe, en déduire le sens de variation.
1
Il y a un minimum en . On calcule la limite en 0, c’est 0 (on le retrouve par les
e
1
croissances comparées en posant X = ). On compare avec la valeur en e, qui est
x
e.
1
Donc d’après le théorème de la bijection continue, l’image est [f
; e].
e
3. Calculer la dérivée de f : x 7→ ln(2x + 1)
1
u0
Erreur : mauvaise formule pour une fonction composée. La bonne est
u
u
4. Soit f une fonction paire, et F une primitive de F . F est-elle impaire ?
Il est vrai que G : x 7→ −F (−x) est une primitive de f (dériver pour vérifier). Mais
f a une infinité de primitives, dont F et G, et F n’est pas forcément égale à G.
Autrement dit : « F 0 = G0 » n’implique pas « F = G ».
Contre-exemple : F = 1, f = 0. f est paire, F n’est pas impaire.
5. Résoudre e2x + e−x = 2.
Erreur : machin du truc (la somme des exponentielles n’est pas l’exponentielle de
la somme).
Solution : poser X = ex . L’équation s’écrit X 3 − 2X + 1 = 0.
Elle a une solution évidente X = 1.
On factorise X 3 − 2X + 1 = (X − 1)(aX 2 + bX + c).
On trouve a, b, c par identification. : X 3 − 2X + 1 = (X − 1)(X 2 + X − 1).
7.
8.
9.
En observant la courbe, tout le monde devrait conjecturer qu’il y a exactement deux
solutions, l’une étant 0.
2
Etudier le sens de variation de f : x 7→ xe−x
Erreur dans la dérivée : la dérivée de eu n’est pas eu , mais u0 eu .
2
f 0 (x) = (1 − 2x2 )e−x
1
1
f est décroissante jusqu’à − √ , croissante jusqu’à √ , puis décroissante.
2
2
Les limites en −∞ et +∞
sont 0. Pour le démontrer, il faut faire un changement
√
de variable X = x2 (x = X) et appliquer les croissances comparées.
5π
2x+1
Résoudre e
= cos
8
5π
π
5π
cos
< 0 car <
< π , donc l’équation n’a pas de solution.
8
2
8
Résoudre ln(x + 1) + ln(x + 3) − ln(x + 2) = 0
a) Oubli du domaine de définition
b) Mauvaise interprétation du domaine de définition : le problème n’est pas le signe
de x, mais celui de x + 1 ; x + 2 et x + 3.
Réponse : le domaine est ] − 1; +∞[. Mêmes√calculs, mais on ne garde que les
−3 + 5
solutions > −1. Il n’y en a qu’une : x =
2
1
Calculer la limite de un = n ln 1 +
lorsque n tend vers +∞.
n
a) Il n’y a aucun théorème permettant de conclure pour une forme « +∞ × (> 0)
», parce qu’une fonction qui reste > 0 peut quand même tendre vers 0, ce qui
donnerait une forme indéterminée (ce qui est le cas ici).
Le théorème voisin est : si u tend vers +∞ et si v tend vesr un réel a > 0, alors uv
tend vers +∞ (non applicable ici).
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b) Erreur : la forme indéterminée « 0 × ∞ » n’est pas vue.
1
ln(1 + x)
= 1 (limite du
Solution : changement de variable x = . On obtient lim
x→0
n
x
cours, taux d’accroissement).
En observant la courbe, personne ne devrait répondre autre chose que 1.
n
1
Remarque : on en déduit lim
1+
= e, ce qui est une façon d’avoir des
n→+∞
n
valeurs approchées de e.
√
10. Soit u(x) = 1 + ln(1 + x). Calculer lim u(x), puis lim x2 − eu(x)
x→+∞
14.
x→+∞
Erreur : mauvaise interprétation des croissances comparées. Les croissances comparées ne s’appliquent pas à eu(x) , mais à ex seulement.
Méthode générale : changement de variable, poser X = u(x).
Ici on peut simplifier un peu, car l’exponentielle et le logarithme sont réciproques :
√
f (x) = x2 − e × (1 + x). le terme le plus fort à mettre en facteur est x2 (calcul à
faire). On trouve une limite +∞.
Ici, la faible croissance du logarithme a compensé la forte croissance de l’exponentielle.
En observant la courbe, personne ne devrait répondre −∞.
un 2
11. Soit la suite u définie par u0 = 3 et un+1 =
. Etudier le sens de variation de u.
4
Dans une suite suite récurrente un+1 = f (un ), il n’y a aucune raison a priori pour
que le sens de variation de u soit le même que celui de f .
Ici u1 < u0 et un < un+1 ⇒ f (un ) < f (un+1 ) (ici la croissance de f intervient),
donc par récurrence u est décroissante, ce qu’on observe sur l’escalier de récurrence
(faites-le).
1
1
1
1
1
12. Soit un = 2 + 2 + 2 + 2 + · · · + 2 . Etudier la convergence de u.
1
2
3
4
n
u est croissante et majorée par la constante 1, donc elle est convergente : oui.
Mais elle n’a pas pour limite 1 (on ne demandait pas la limite ici, donc autant ne
pas prendre de risques).
Une suite peut être croissante et majorée par M mais pourtant ne pas avoir pour
limite M (c’est parce que M n’est pas forcément le plus petit majorant).
Z ln(√2−1)
1
13. Trouver un majorant de I =
dt
1
+
t2
0
√
√
Mauvaise application de l’inégalité de la moyenne. Ici ln( 2 − 1) < 0 car 2 < 2,
donc il faut inverser le sens de l’inégalité. Mais alors on n’a plus un majorant mais
un minorant.
Pour trouver un majorant, il faut au contraire commencer par trouver un minorant
1
de la fonction, ici 0 car
> 0.
1 + t2
15.
16.
17.
18.
On applique alors l’inégalité de la moyenne en inversant le sens.
Conclusion : I 6 0. 0 est un majorant de l’intégrale.
Combien de listes de 4 chiffres peut-on former avec les chiffres 2, 0, 0, 8 ?
Erreur : en comptant ainsi, on compte deux fois chaque liste, car les 0 ne sont pas
discernables. Donc la réponse s’obtient en divisant par 2 (principe du berger) : 12.
4
Ou bien : On choisit les places des deux 0 :
= 6 possibilités.
2
On place le 2 : 2 possibilités restantes.
La place du 8 est alors obligée.
Donc finalement 6 × 2 × 1 = 12.
Ici les nombres ne sont pas grands, vérifiez en énumérant toutes les possibilités.
On lance un dé. On obtient un résultat n.
Erreur : la probabilité d’une réunion n’est pas toujours la somme des probabilités.
Il faut que les événements soient disjoints, ce qui n’est pas le cas ici (6 est à la fois
divisible par 2 et par 3).
2
3 2 1
P (A) = P (D ∪ T ) = P (D) + P (T ) − P (D ∩ T ) = + − = .
6 6 6
6
4
2
2
Donc P (A) = 1 − = =
6
6
3
Dans une usine [...]
2. On tire un composant au hasard, on constate que le test est négatif. Quelle est alors
la probabilité qu’il fonctionne ?
Erreur : PT (F ) n’est pas égal à 1 − PT (F ). A ne pas confondre avec PT F .
Ici, appliquer la méthode d’inversion d’arbre.
5π
5π
5π
2
Soit z = sin
+ i sin
cos
.
8
8
8
Calculer le module et
de 1 − z.
l’argument
5π
On a bien A = cos
e−i5π/8
8
iθ
Mais la forme
re
n’est pas forcément la forme exponentielle. Il faut que r > 0.
5π
Or ici cos
< 0 (toujours la même valeur piège).
8
5π
3π
Donc |1 − z| = − cos
et arg(z) =
(c’est π + θ). Voir cours.
8
8
CA
Soit A d’affixe 1, B(2 + 3i), C(3 + i). Calculer arg
.
CB
Erreur d’interprétation des notations.
→ = zA − zC , mais |zA − zC |, qui est un réel positif (une distance).
CA n’est pas z−
CA
CA
CA
arg
= 0 car
est un réel positif (pas besoin de calculs, c’est un piège).
CB
CB
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19. Déterminer l’intersection des deux plans P et Q d’équations 4x + 3y + z − 1 = 0 et
2x + 2y + z + 2 = 0
4x + 3y + z − 1 = 0
Erreur : le système
n’est pas équivalent à l’unique équation
2x + 2y + z + 2 = 0
4x + 3y + z − 1 = 2x + 2y + z + 2.
Dans l’espace, l’équation y = −2x + 2 représente un plan, pas une droite.
Ce que prouvent les calculs, c’est que l’intersection est incluse dans le plan
d’équation y = −2x + 2, mais cela ne suffit pas.
On résout le système en prenant une des coordonnées comme paramètre, et on
trouve la représentation paramétrique d’une droite.
1
2
20. Résoudre x ln(x) = − 2 sur 0;
e
2
1
1
L’équation s’écrit x ln(x) = 2 ln 2 : oui, mais aucun principe d’identification
e
e
ne peut s’appliquer ici.
Le principe d’identification peut s’appliquer quand on a une identité, c’est-à-dire
une égalité vraie pour tout x (une égalité entre fonctions). Ce n’est pas le cas ici.
1
Ce que prouvent les calculs, c’est qu’il y a au moins une solution : 2 , mais cela ne
e
dit pas que c’est la seule. Et effectivement, ce n’est pas la seule, il y en a exactement
une autre, ce que prouve le théorème de la bijection continue (étudier les variations
de la fonction). Mais on ne sait pas calculer exactement cette solution.
Personne ne devrait répondre qu’il n’y a qu’une solution : observer la courbe.
√
21. Soit A( 3 + i) et B(2i). démontrer que OAB est un triangle équilatéral.
π
Il ne suffit pas qu’un triangle ait un angle de
pour qu’il soit équilatéral !
3
Dit autrement : il ne suffit pas qu’un nombre complexe z ait un argument θ pour
iθ
qu’il soit égal à eiθ . Il faut
aussi calculer son module r, et alors z = re .
2i = 1, ce qu’on peut prouver avec le rapport des
Ici il faut prouver que √
3 + i
|2i|
modules √
| 3 + i|
√
Ou bien, on montre : 2i = eiπ/3 ( 3 + i), donc B est l’image de A par la rotation
π
de centre O et d’angle .
3
Pour avoir une rotation d’angle θ, il ne suffit
d’avoir un angle θ, il faut aussi
−→pas
−−→ π
avoir des longueurs égales : OA = OB et OA, OB = .
3
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