Théorie des nombres. Mat 3632 Liste de problémes pratiques pour l

Th´eorie des nombres. Mat 3632
Liste de probl´emes pratiques pour l’examen final
1. Montrer que (a, b) = (a+b, [a, b]).
2. Pour quels entiers positifs na-t-on
n
X
j=1
j
n
Y
j=1
j?
3. Toute solution de x2+y2=z2en entiers positifs est appel´ee un triplet pythagoricien,
parce qu’il existe alors un triangle rectangle dont les cˆot´es ont comme longueurs respec-
tives les trois nombres en question. Trouver tous les triplets pythagoriciens dont les
termes forment une progression arithm´etique (c’est-`a-dire, il y a un naturel dtel que
y=x+d,z=y+dou x=y+d,z=x+d).
4. Trouver le plus petit entier sup´erieur `a 1 qui satisfait le syst`eme de congruences suivant:
x≡1(mod3)
x≡1(mod5)
x≡1(mod7)
5. Trouver la valeur de −2
11 ,−2 13 ,−2 17 ,3 11 ,3 13 ,3 17 .
6. Est-il possible d’avoir 50 pi`eces qui sont sous, dix-sous ou vingt-cinq-sous, avec un total
de $3?
7. Soit ppremier >3. Trouver un ensemble S⊂Ztel que 3
p= 1 ssi p≡n(mod 12)
pour un n∈S?
8. Prouver que l’´equation
φ(n) = 14
n’a pas de solution n∈Z.
9. Prouver que les solutions enti`eres de l’´equation
x2+y2= 3(s2+t2)
sont x=y=s=t= 0.
10. Trouver le plus petit entier sup´erieur `a 1 qui satisfait le syst`eme de congruences suivant:
x≡0(mod2)
x≡0(mod3)
x≡1(mod5)
x≡6(mod7)

11. Trouver le plus petit r´esidu positif de 2710 modulo 11.
12. Trouver les solutions de
x2+ 144 = z2
avec x, z ∈Ntels que (x, z) = 1.
13. Combien des solutions y-a-t-il pour l’´equation
x2≡1 (mod 70)?
14. Soit nun entier positif fixe. Que peut-on dire du nombre de solutions de l’´equation
σ(x) = n? Qu’en est-il de l’´equation τ(x) = n?
15. Montrer que Pd|nτ3(d) = Pd|nτ(d)2 pour chaque entier positif n.
16. Montrer que si nest un entier positif pair,
X
d|n
µ(d)φ(d) = 0
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