Théorie des nombres. Mat 3632 Liste de problémes pratiques pour l

Théorie des nombres. Mat 3632
Liste de problémes pratiques pour l’examen final
1. Montrer que (a, b) = (a + b, [a, b]).
2. Pour quels entiers positifs n a-t-on
n
n
Y
X
j j?
j=1
j=1
3. Toute solution de x2 + y 2 = z 2 en entiers positifs est appelée un triplet pythagoricien,
parce qu’il existe alors un triangle rectangle dont les côtés ont comme longueurs respectives les trois nombres en question. Trouver tous les triplets pythagoriciens dont les
termes forment une progression arithmétique (c’est-à-dire, il y a un naturel d tel que
y = x + d, z = y + d ou x = y + d, z = x + d ).
4. Trouver le plus petit entier supérieur à 1 qui satisfait le système de congruences suivant:

 x ≡ 1(mod3)
x ≡ 1(mod5)

x ≡ 1(mod7)
5. Trouver la valeur de
−2
11
,
−2
13
,
−2
17
,
3
11
,
3
13
,
3
17
.
6. Est-il possible d’avoir 50 pièces qui sont sous, dix-sous ou vingt-cinq-sous, avec un total
de $3?
7. Soit p premier > 3. Trouver un ensemble S ⊂ Z tel que p3 = 1 ssi p ≡ n (mod 12)
pour un n ∈ S?
8. Prouver que l’équation
φ(n) = 14
n’a pas de solution n ∈ Z.
9. Prouver que les solutions entières de l’équation
x2 + y 2 = 3(s2 + t2 )
sont x = y = s = t = 0.
10. Trouver le plus petit entier supérieur à 1 qui satisfait le système de congruences suivant:

x ≡ 0(mod2)



x ≡ 0(mod3)
x ≡ 1(mod5)



x ≡ 6(mod7)
11. Trouver le plus petit résidu positif de 27
10
modulo 11.
12. Trouver les solutions de
x2 + 144 = z 2
avec x, z ∈ N tels que (x, z) = 1.
13. Combien des solutions y-a-t-il pour l’équation
x2 ≡ 1 (mod 70)?
14. Soit n un entier positif fixe. Que peut-on dire du nombre de solutions de l’équation
σ(x) = n? Qu’en est-il de l’équation τ (x) = n?
P
2
P
3
15. Montrer que d|n τ (d) =
pour chaque entier positif n.
d|n τ (d)
16. Montrer que si n est un entier positif pair,
X
µ(d)φ(d) = 0
d|n
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