Continuité, TVI

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Ch.06 Continuit´e, TVI
I- Objectifs du chapitre
D´eriv´ee de »u(x), (u(x))n,f(ax +b)
Notion de continuit´e
Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires et th´eor`eme de la bijection.
II- Pr´e-requis
D´erivation
Tableaux de variations
III- Cours
1) Formules de d´erivation
•(√u)′=u′
2√u
•(un)′=n u′un−1
•(f(ax +b))′=a f′(ax +b)
Propri´et´e 1 (Nouvelles d´eriv´ees (2p120))
Exemples :
•La d´eriv´ee de g:x7−→ √−x2+ 1 vaut g′(x) = −2x
2√−x2+ 1.
•La d´eriv´ee de h: (√x−1)4vaut h′(x) = 4 ×1
2√x×(√x−1)3.
2) Continuit´e et th´eor`emes
f, d´efinie sur un intervalle I, est dite continue en a∈Ilorsque
lim
x→af(x) = f(a)
fest continue sur Ilorsque fest continue en tout a∈I.
D´efinition 2 (Continuit´e en un point, sur un intervalle)
Remarque : (Interpr´etation graphique)
La courbe d’une fonction continue sur un intervalle Ise trace ”sans lever le crayon”

Fonction continue Fonction non continue
Remarque : (Limites `a gauche et `a droite)
Pour qu’une fonction fsoit continue en aon doit prouver lim
x→af(x) = f(a)`a gauche et `a droite.
Fig.(3)
Toutes les fonctions usuelles vues au lyc´ee sont continues sur leur(s) intervalle(s) de d´efinition.
Propri´et´e 3 (Continuit´e des fonctions usuelles)
Soit fune fonction continue sur un intervalle Iet kun nombre r´eel.
Si il existe aet bdeux nombres de Itels que :
•f(a)< k
•f(b)> k
Alors il existe c∈]a;b[ tel que f(c) = k
Propri´et´e 4 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires)
Illustration
−2 3
c1c2c3
1,5Puisque la fonction est continue entre −2 et 3, alors
elle prend toutes les valeurs comprises entre f(−2) et
f(3) mais :
•ni seulement ces valeurs (f(0) > f (3))
•ni une fois seulement (1,5 est atteint 3 fois)

Remarque : (Importance de la continuit´e)
On voit dans la figure (3) pr´ec´edente que si la fonction n’est pas continue entre 0 et 2, le fait d’avoir
f(0) >1,5et f(2) <1,5ne permet pas de prouver que 1,5.= est atteint par f.
Pour prouver l’existence d’une solution `a l’´equation f(x) = 0 sur un intervalle I, on trouve deux
nombres aet btels que f(a)f(b)<0
M´ethode 5 (R´esoudre l’´equation f(x) = 0)
Remarque : (Existence et unicit´e)
Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires prouve l’existence du r´eel ctel que f(c) = k, mais pas forc´ement
son unicit´e. Elle n’est prouv´ee que si la fonction est strictement monotone sur]a;b[(th´eor`eme de la
bijection suivant).
Soit fune fonction continue, strictement monotone sur un intervalle Iet kun nombre r´eel.
Si il existe aet bdeux nombres de Itels que :
•f(a)< k
•f(b)> k
Alors il existe un unique c∈]a;b[ tel que f(c) = k
Propri´et´e 6 (th´eor`eme de la bijection)
Illustration
−23
c
1
Puisque la fonction est continue, et strictement
monotone (croissante) entre −2 et 3, alors elle
prend une seule fois toutes les valeurs comprises
entre f(−2) et f(3).
En particulier l’´equation f(x) = 1 admet une unique
solution c.

IV- Exercices r´esolus
Ex 89 p 139
1) en d´ecim`etres, le diam`etre de la boule, positif, doit ˆetre inf´erieur `a celui du cylindre, soit 2 dm.
Si le niveau d’eau est tangent `a la bille, alors le volume d’eau (π×12×0,5), ajout´e `a celui de la
bille 4
3×π×Äd 2ä3est ´egal au volume d’un cylindre de diam`etre det de hauteur d(π×12×d).
Soit π
2+4πd3 3×8=π×d
En simplifiant par π, en multipliant chaque membre de l’´egalit´e par 6, on obtient :
3 + d3= 6d
Soit d3−6d+ 3 = 0
2) a. On appelle fla fonction d´efinie sur ]0; 2[ par f(x) = x3−6x+ 3.
f′(x) = 3x2−6 = 3 Äx−√2äÄx+√2ä.
D’o`u le tableau de variations de f:
x0√22
f′(x)−0+
f−3
3−4√2
−1
fest un polynˆome, donc continue sur ]0; 2[, de plus :
•sur ]√2; 2[, fest n´egative donc l’´equation f(x) = 0 n’admet aucune solution ;
•sur l’intervalle ]0; √2[, fest strictement d´ecroissante, f(0) = 3 >0 et f(√2) = 3−4√2<0.
Donc l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution αsur l’intervalle ]0; √2[.
b. ` A l’aide de la calculatrice, on trouve α∈]0,52 ; 0,53[
Exercice 78 p 134
On consid`ere les deux courbes (C1) et (C2) d’´equations respectives y= exet
y=−x2−1 dans un rep`ere orthogonal du plan.
1) Lecture graphique de l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1) : a≃0,8
et l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2) : b≃ −1,2.
2) On d´esigne par aet bdeux r´eels quelconques, par Ale point d’abscisse ade la courbe (C1) et par B
le point d’abscisse bde la courbe (C2).
On a alors : A(a; ea) et B(b;−b2−1).
a. ´ Equation de la tangente (TA) `a la courbe (C1) au point A :
y−ea= ea(x−a)⇐⇒ y= eax+ ea(1 −a)
b. ´ Equation de la tangente (TB) `a la courbe (C2) au point B :
y−(−b2−1) = −2b(x−b)⇐⇒ y= (−2b)x+b2−1

c. (TA) = (TB). En identifiant terme `a terme les deux ´equations, on obtient :
(TA) = (TB)⇐⇒ (S) : ®ea=−2b
ea(1 −a) = b2−1
d. Montrons que le syst`eme (S) est ´equivalent au syst`eme (S′) :
(S)⇐⇒ (b=−ea
2
ea(1 −a) = Ä−ea
2ä2−1
(S)⇐⇒ ®b=−ea
2
4ea(1 −a) = (ea)2−4⇐⇒ ®ea=−2b
e2a+ 4aea−4ea−4 = 0
3) (E) : e2x+ 4xex−4ex−4 = 0.
On consid`ere la fonction fd´efinie sur Rpar : f(x) = e2x+ 4xex−4ex−4.
a. Sur ] − ∞ ; 0[, la fonction x→e2xest croissante et strictement positive, donc :
Äe2x6e2×0= 1 <4 =⇒e2x−4<0ä
et
(x∈]− ∞ ; 0[⇐⇒ x < 0⇐⇒ x−1<−1<0 =⇒4ex(x−1) <0)
b. L’´equation (E) n’a pas de solution dans l’intervalle ] − ∞ ; 0[, car sur cet intervalle,
e2x+ 4xex−4ex−4<0 .
c. f′(x) = 2e2x+ 4ex+ 4xex−4ex= 2e2x+ 4xex>0 (somme de nombres strictement positifs)
Donc la fonction fest strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
d. D´emontrons que l’´equation (E) admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; +∞[. En effet :
f(0) = −7
et lim
x→+∞f(x) = lim x→+∞e2xÇ1 + 4 x
ex−4 ex−4 e2xå= +∞
car lim
x→+∞
x
ex= lim
x→+∞
4
enx = 0 (n= 1 ou 2)
La fonction fest continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[ ;
elle r´ealise donc une bijection de [0 ; +∞[ sur [−3 ; +∞[.
Or 0 ∈[−3 ; +∞[, donc 0 poss`ede un unique ant´ec´edent, not´e av´erifiant f(a) = 0.
Encadrement d’amplitude 10−2de a(en utilisant le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires) :
f(0,84) ≃ −0,117 et f(0,85) ≃0,07 =⇒0,84 6a60,85
4) On prend pour A le point d’abscisse a.
Encadrement d’amplitude 10−1du r´eel bpour lequel les droites (TA) et (TB) sont confondues :
0,84 6a60,85 ⇐⇒ 2,31 <e0,84 6ea6e0,85 <2,34 ⇐⇒ 1,155 6ex
261,17
⇐⇒ −1,26b6−1,1