Continuité, TVI

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I-
Ch.06 Continuité, TVI
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Objectifs du chapitre
Dérivée de
u(x), (u(x))n , f (ax + b)
»
Notion de continuité
Théorème des valeurs intermédiaires et théorème de la bijection.
II-
Pré-requis
Dérivation
Tableaux de variations
III1)
Cours
Formules de dérivation
Propriété 1 (Nouvelles dérivées (2p120))
√
u′
√
• ( u) =
2 u
′
• (un )′ = n u′ un−1
• (f (ax + b))′ = a f ′ (ax + b)
Exemples :
√
−2x
−x2 + 1 vaut g ′ (x) = √ 2
.
2 −x + 1
√
√
1
• La dérivée de h : ( x − 1)4 vaut h′ (x) = 4 × √ × ( x − 1)3 .
2 x
• La dérivée de g : x 7−→
2)
Continuité et théorèmes
Définition 2 (Continuité en un point, sur un intervalle)
f , définie sur un intervalle I, est dite continue en a ∈ I lorsque
lim f (x) = f (a)
x→a
f est continue sur I lorsque f est continue en tout a ∈ I.
Remarque : (Interprétation graphique)
La courbe d’une fonction continue sur un intervalle I se trace ”sans lever le crayon”
Fonction continue
Fonction non continue
Remarque : (Limites à gauche et à droite)
Pour qu’une fonction f soit continue en a on doit prouver lim f (x) = f (a) à gauche et à droite.
x→a
b
Fig.(3)
Propriété 3 (Continuité des fonctions usuelles)
Toutes les fonctions usuelles vues au lycée sont continues sur leur(s) intervalle(s) de définition.
Propriété 4 (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et k un nombre réel.
Si il existe a et b deux nombres de I tels que :
• f (a) < k
• f (b) > k
Alors il existe c ∈]a; b[ tel que f (c) = k
Illustration
b
b
b
1, 5
−2
c1
c2
c3 3
Puisque la fonction est continue entre −2 et 3, alors
elle prend toutes les valeurs comprises entre f (−2) et
f (3) mais :
• ni seulement ces valeurs (f (0) > f (3))
• ni une fois seulement (1,5 est atteint 3 fois)
Remarque : (Importance de la continuité)
On voit dans la figure (3) précédente que si la fonction n’est pas continue entre 0 et 2, le fait d’avoir
f (0) > 1, 5 et f (2) < 1, 5 ne permet pas de prouver que 1,5.= est atteint par f .
Méthode 5 (Résoudre l’équation f (x) = 0)
Pour prouver l’existence d’une solution à l’équation f (x) = 0 sur un intervalle I, on trouve deux
nombres a et b tels que f (a)f (b) < 0
Remarque : (Existence et unicité)
Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l’existence du réel c tel que f (c) = k, mais pas forcément
son unicité. Elle n’est prouvée que si la fonction est strictement monotone sur]a; b[ (théorème de la
bijection suivant).
Propriété 6 (théorème de la bijection)
Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un intervalle I et k un nombre réel.
Si il existe a et b deux nombres de I tels que :
• f (a) < k
• f (b) > k
Alors il existe un unique c ∈]a; b[ tel que f (c) = k
Illustration
b
1
−2
c 3
Puisque la fonction est continue, et strictement
monotone (croissante) entre −2 et 3, alors elle
prend une seule fois toutes les valeurs comprises
entre f (−2) et f (3).
En particulier l’équation f (x) = 1 admet une unique
solution c.
IV-
Exercices résolus
Ex 89 p 139
1) en décimètres, le diamètre de la boule, positif, doit être inférieur à celui du cylindre, soit 2 dm.
Si le niveau d’eau est tangent à la bille, alors le volume d’eau (π × 12 × 0, 5), ajouté à celui de la
Ä ä3
bille 34 × π × d2
est égal au volume d’un cylindre de diamètre d et de hauteur d (π × 12 × d).
Soit
π
4πd3
+
=π×d
2 3×8
En simplifiant par π, en multipliant chaque membre de l’égalité par 6, on obtient :
3 + d3 = 6d
Soit d3 − 6d + 3 = 0
2)
a. On appelle f la fonction définie sur ]0; 2[ par f (x) = x3 − 6x + 3.
Ä
√ äÄ
√ ä
f ′ (x) = 3x2 − 6 = 3 x − 2 x + 2 .
D’où le tableau de variations de f :
x
f ′ (x)
f
√
0
−3
−
2
2
0
+
−1
√
3−4 2
f est un polynôme, donc continue sur ]0; 2[, de plus :
√
• sur ] 2; 2[, f est négative donc l’équation f (x) = 0 n’admet aucune solution ;
√
√
√
• sur l’intervalle ]0; 2[, f est strictement décroissante, f (0) = 3 > 0 et f ( 2) = 3−4 2 < 0.
√
Donc l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle ]0; 2[.
b. À l’aide de la calculatrice, on trouve α ∈]0, 52 ; 0, 53[
Exercice 78 p 134
On considère les deux courbes (C1 ) et (C2 ) d’équations respectives y = ex et
y = −x2 − 1 dans un repère orthogonal du plan.
1) Lecture graphique de l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1 ) : a ≃ 0, 8
et l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C2 ) : b ≃ −1, 2.
2) On désigne par a et b deux réels quelconques, par A le point d’abscisse a de la courbe (C1 ) et par B
le point d’abscisse b de la courbe (C2 ).
On a alors : A (a; ea ) et B (b; −b2 − 1).
a. Équation de la tangente (TA ) à la courbe (C1 ) au point A :
y − ea = ea (x − a) ⇐⇒ y = ea x + ea (1 − a)
b. Équation de la tangente (TB ) à la courbe (C2 ) au point B :
y − (−b2 − 1) = −2b(x − b) ⇐⇒ y = (−2b)x + b2 − 1
c. (TA ) = (TB ). En identifiant terme à terme les deux équations, on obtient :
(TA ) = (TB ) ⇐⇒ (S) :
®
ea = −2b
ea (1 − a) = b2 − 1
d. Montrons que le système (S) est équivalent au système (S ′ ) :
(S) ⇐⇒
(S) ⇐⇒
®
(
b = − e2
Ä a ä2
ea (1 − a) = − e2 − 1
a
b = − e2
⇐⇒
4ea (1 − a) = (ea )2 − 4
a
®
ea
= −2b
2a
a
a
e + 4ae − 4e − 4 = 0
3) (E) : e2x + 4xex − 4ex − 4 = 0.
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = e2x + 4xex − 4ex − 4.
a. Sur ] − ∞ ; 0[, la fonction x → e2x est croissante et strictement positive, donc :
Ä
e2x 6 e2×0 = 1 < 4 =⇒ e2x − 4 < 0
ä
et
(x ∈] − ∞ ; 0[⇐⇒ x < 0 ⇐⇒ x − 1 < −1 < 0 =⇒ 4ex (x − 1) < 0)
b. L’équation (E) n’a pas de solution dans l’intervalle ] − ∞ ; 0[, car sur cet intervalle,
e2x + 4xex − 4ex − 4 < 0 .
c. f ′ (x) = 2e2x + 4ex + 4xex − 4ex = 2e2x + 4xex > 0 (somme de nombres strictement positifs)
Donc la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.
d. Démontrons que l’équation (E) admet une solution unique dans l’intervalle [0 ; +∞[. En effet :
f (0) = −7
å
Ç
4
4
x
2x
1 + 4 x − x − 2x = +∞
et lim f (x) = lim e
x→+∞
x→+∞
e
e
e
x
4
= lim nx = 0 (n = 1 ou 2)
x
x→+∞ e
x→+∞ e
car lim
La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; +∞[ ;
elle réalise donc une bijection de [0 ; +∞[ sur [−3 ; +∞[.
Or 0 ∈ [−3 ; +∞[, donc 0 possède un unique antécédent, noté a vérifiant f (a) = 0.
Encadrement d’amplitude 10−2 de a (en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires) :
f (0, 84) ≃ −0, 117 et f (0, 85) ≃ 0, 07 =⇒ 0, 84 6 a 6 0, 85
4) On prend pour A le point d’abscisse a.
Encadrement d’amplitude 10−1 du réel b pour lequel les droites (TA ) et (TB ) sont confondues :
x
0, 84 6 a 6 0, 85 ⇐⇒ 2, 31 < e0,84 6 ea 6 e0,85 < 2, 34 ⇐⇒ 1, 155 6 e2 6 1, 17
⇐⇒ −1, 2 6 b 6 −1, 1
Annexe
4
3
2
1
);
−5
−4
−3
−2
−1
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
4