DS n˚1 : Nombres complexes - correction

ULCO-IUT GTE 2012-2013
Dur´ee : 2H DUT FI 1
DS n˚1 : Nombres complexes - correction
Il sera tenu compte de la qualit´e de r´edaction.
Tout calcul injustifi´e, mˆeme s’il conduit `a un r´esultat juste, ne sera pas pris en compte.
Exercice 1.
Soit z=x+iy l’´ecriture alg´ebrique de z.
a) R´esoudre l’´equation z2=−7−24i.
z2=x2−y2+ 2ixy et on est ramen´e `a r´esoudre le syst`eme (x2−y2=−7
2xy =−24 ⇔(x2−y2=−7 x2y2= 122
ceci conduit `a x2= 9 et y2= 16 le produit xy ´etant n´egatif, il y a deux solutions : z=±(3 −4i)
b) V´erifier l’exactitude des solutions trouv´ees.
z2= 9 −16 −24i=−7−24i
c) R´esoudre l’´equation z4=−7−24i.
Posons W=z2de sorte que W2=−7−24i. De la premi`ere question, nous savons que cela entraˆıne
W=±(3 −4i) et donc, soit z2= 3 −4i(1), soit z2=−3+4i(2).
Remarquons que l’´equation (2) peut s’´ecrire (iz)2= 3−4ide sorte qu’il nous suffit de r´esoudre ´equation (1).
En proc´edant comme pour a), nous obtenons le syst`eme : (x2−y2= 3
2xy =−4qui a pour solutions z=±(2−i).
Finalement l’´equation z4=−7−24iadmet 4 solutions :
z1= 2 −i, z2=−z1, z3=iz1, z4=−iz1.
Exercice 2. R´esoudre les ´equations suivantes. On exprimera les solutions sous forme alg´ebrique et polaire :
a) z2−(1 + i)z+i= 0 Le disriminant de cette ´equation est :
∆ = (1 + i)2−4i=−2i= 2ei3π
2. Les deux racines carr´ees du discriminant sont ainsi les nombres
δ±=±√2ei3π
4=±(1 −i).Les deux solutions sont finalement les nombres z±=(1 + i)±(1 −i)
2, c’ est `a
dire z+= 1 et z−=i.
b) z2−2z+ 2 = 0
Le disriminant de cette ´equation est :
∆ = −4 ; ses deux racines carr´ees sont δ±=±2i.
Ainsi, les deux solutions sont les nombres z±=2±2i
2, c’ est `a dire z+= 1 + iet z−= 1 −i.
c) z3−z2+z−1 = 0 On remarque que z0= 1 est une solution ´evidente. Ceci nous conduit `a rechercher
deux r´eels aet btels que z3−z2+z−1 = (z−1)(z2+az +b). En d´eveloppant puis en proc´edant par
identification, on trouve z3−z2+z−1=(z−1)(z2+ 1). Finalement, z0= 1 z+=iet z−=−isont les
trois solutions recherch´ees.
1

2
Exercice 3.
Exprimer cos5(x) comme une combinaison lin´eaire des 6 r´eels cos(kx), avec 0 ≤k≤5.
On peut ´ecrire cos5(x) = eix +e−ix
25
=1
16
(eix +e−ix)5
2. Mais, on v´erifie :
(a+b)5=a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+b5ce qui, en regroupant les termes conjugu´es aboutit `a
cos5(x) = 5 cos(x)
8+5 cos(3x) 16 +cos(5x) 16
Exercice 4.
Soit z∈C. On d´efinit Z= (1 −z)(1 −iz).
Montrer que l’ensemble des nombres complexes ztels que Z∈Rest la r´eunion de deux droites dont on
d´eterminera les ´equations et que l’on repr´esentera graphiquement.
Z∈Rsi et seulement si Z=¯ Z, c’est `a dire lorsque (1 −z)(1 −iz) = (1 −¯z)(1 + i¯z). En d´eveloppant, cela
s’´ecrit 0 = (z−¯z) + i(z+ ¯z)−i(z2+ ¯z2) (1).
Soit z=x+iy, l’´ecriture alg´ebrique de z.
L’´equation (1) s’´ecrit 0 = 2i(x+y)−2i(x2−y2)⇔0=(x+y)(1 −x+y). Il s’agit de la r´eunion des droites
d’´equation y=−xet y=x−1.