4- Les nombres complexes

Lesnombrescomplexes
L’originedesnombrescomplexes
Lesnombrescomplexesontétéutiliséslongtempsavantd’êtreclairementdéfinis.Lorsdela
résolutiondecertainsproblèmes,onavaitàeffectuercertainscalculsintermédiairesdans
lesquelsonretrouvaitdeséquationsn’ayantpasdesolutionréelle,mêmesionsavaitquela
réponsefinaleduproblèmeétaitréelle.Parexemple,onpouvaitretrouverdeséquationstelles
que
x
23
et
x
x
2450
quin’ontaucunesolutionréelle.
LepremieràutiliserlesnombrescomplexespourrésoudredetelscalculsfutGirolamoCardano
(Italie1501‐1576)en1545.Ildutavoirrecoursauxnombrescomplexescommeintermédiaires
pourrésoudreleséquationsdutroisièmedegré.Lesnombrescomplexesn’étaientalors
employésquedurantquelquesétapesducalcul,maisn’apparaissaientjamaisdanslessolutions
finales.Onneconsidéraitpasalorslesnombrescomplexescommeunvéritableobjet
mathématique,maisplutôtcommeuntrucmathématiquepourrésoudredeséquations.De
plus,lesquelquesparadoxesqu’onobtenaitalorsaveccesnombres,dusàunenotation
insuffisante,firentqu’onregardaitsouventlesnombrescomplexesd’unefaçonsuspecte.
Ilfaudraattendreenvirondeuxsiècles,en1777,avantqueLeonardEuler(Suisse1707‐1783)
n’introduiseunenotationplusrigoureuseetexplorel’extensionauxnombrescomplexesdes
fonctionstellesquelafonctionexponentielle.CasparWessel(Norvège1745‐1818)en1797et
KarlFriedrichGauss(Allemagne1777‐1855)clarifièrentbeaucoupleconceptdenombre
complexeendonnantuneinterprétationgéométriquedanslaquellelesnombrescomplexes
sontreprésentéspardespointsdansunplan.L’étudedesnombrescomplexespritdoncson
envolauXIXesiècle.Onamêmeditque,dupointdevuetechnique,lathéoriedesfonctions
complexesfutlacréationlaplusoriginaledecesiècle.Onallajusqu’àl’appelerlajoie
mathématiquedusiècle.

2Lesnombrescomplexes
Resteque,bienquel’étudepurementmathématiquedesnombrescomplexessoitintéressante,
laprincipaleutilitédeceux‐ciresteleurutilisationcommeintermédiairedanslescalculs.En
utilisantlesnombrescomplexes,onsimplifiegrandementcertainscalculsautrementdifficiles,
voireimpossibles.JacquesHadamardnousditque«lecheminleplusrapideentredeuxvérités
dansledomaineréelpasseparledomainecomplexe».
Biensûr,l’étudedesfonctionscomplexesestunvastedomaineetilneseraitêtrequestionde
l’aborderentièrementici.Nousn’allonsenfaitquefairel’extensiondesfonctionsréellesau
domainecomplexeetmontercommentutilisercesconnaissancespourprouverdesidentités
réelles,particulièrementlesidentitéstrigonométriques.
Définitiondesnombrescomplexes
Àlabase,onabesoinqued’unseuloutilpourarriverauxnombrescomplexes.Ilsuffitalorsde
définir
1i.
(Notezqu’engénie,onutiliseparfoislalettrejplutôtquei.)Euleraappelécenombreun
nombreimaginaire,nomquimalheureusementestdemeuréjusqu’àaujourd’huietquireflète
bienlemystèrequientouraitlesnombrescomplexesàcetteépoque.
Lesnombrescomplexess’écriventengénéralsouslaforme
z
x
iy
oùxestlapartieréelleetyestlapartieimaginairedunombrecomplexe.Nouspourrionsécrire
celasouslaforme
Re( )z
x
etIm( )z
y
.

3Lesnombrescomplexes
ExempleRésoudre
x
23 .
Nousavons
x
i
3
31
3.
Lasolutiondecetteéquationestalorsunnombrepurementimaginaire.Pourcette
solution,nousavons
Re 30 et Im 33.
____________________
ExempleRésoudre
x
x
2450.
Enappliquantlaformulequadratique,nousobtenons
x
i
ii
4445
2
44
2
441
2
42
2
22
2
et
____________________

4Lesnombrescomplexes
Égalitéentredeuxnombrescomplexes
Lorsquedeuxnombrescomplexessontégaux,ilfautabsolumentquelespartiesréellessoient
égalesetquelespartiesimaginairessoientégalesentreelles.Ainsisi
aibaib ''
alors
aa '
et
bb '.
Leplancomplexe
Ilestpossibledereprésentergraphiquementlesnombrescomplexes.Commeilyadeux
composantesdansunnombrecomplexe,lapartieréelleetlapartieimaginaire,onpeut
représenterunnombrecomplexecommeunpointdansunplan.L’axehorizontalestl’axedes
réelsetl’axeverticalestl’axedesimaginaires.Ainsi,unpointz
x
iy seraplacéàl’endroit
décritparlafiguresuivante.

5Lesnombrescomplexes
Ceplans’appelleleplancomplexeou,beaucoupmoinsfréquemment,undiagrammed’Argand
(deJeanRobertArgand(Suisse1768‐1822),undespremiersàs’intéresseràlareprésentation
géométriquedesnombrescomplexes.).
ExempleReprésentonslesnombresz=2+ietz=2–idansleplancomplexe
____________________
Opérationssurlesnombrescomplexes
Addition
L’additiondedeuxnombrescomplexeszxiy
111
etzxiy
222
donne
zz xiyxiy
xx iyy
12 1 12 2
12 12