Fonctions trigonométriques

Tale S
Fonctions trigonométriques
Cours
Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0, et on a : sin0 0 = 1 et cos0 0 = 0.
Démonstration à l’aide d’une activité géométrique :
h πi
Dans un repère (O ; I ; J), on considère un réel x appartenant à l’intervalle 0 ; , le point M du cercle
2
trigonométrique associé à x, et le point T , intersection de la droite (OM ) et de la tangente au cercle en I.
1. (a) Montrer que IT =
sin x
.
cos x
(b) En rangeant dans l’ordre croissant les aires
triangles OIM , OIT et celle du secteur de disque
h des
πh
OIM , montrer que, pour tout réel x de 0 ; ,
2
sin x 6 x 6
sin x
cos x
i πh
(c) En déduire que, pour tout x de 0 ; ,
2
cos x <
sin x
<1
x
i π h
On admet de même que cet encadrement est également vrai lorsque x ∈ − ; 0 .
2
(d) En déduire, en utilisant la définition, que la fonction sinus est dérivable en zéro et que sin0 0 = 1.
h π πi
2. (a) Montrer que pour tout réel h non nul de l’intervalle − ; , on a :
2 2
cos h − 1
sin h
− sin h
=
×
h
h
cos h + 1
(b) En déduire le nombre dérivé en zéro de la fonction cosinus.
N. Peyrat
Lycée Saint-Charles
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