NDS-PES 15

NDS-PES
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1. Définitions:
a) Définition d’une suite
Une suite est une liste de nombres partant d’un premier terme.
Une suite u associe à tout entier naturel n un nombre réel noté un ou u(n).
Les nombres réels un sont les termes de la suite.
Les nombres entiers n sont les indices ou les rangs.
La suite u peut également se noter (un) ou (un)n ∈ N
 𝑼𝒏−𝟏 est le terme qui précède 𝑼𝒏 puisque n-1 est l’indice précédent n ;
 De même _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Rang
0
Terme
𝑈0
1
…..
n-1
n
n+1
𝑈𝑛
Remarques : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_______________________________________________
_
Exemple : Par exemple la liste 1,6 ; 2,4 ; 3,2 ; 5 ; 4 ... correspond à la suite suivante :
𝑈0 =1,6 (terme de rang 0), 𝑈1 = _ _ _ _ (terme de rang _ _ _)
𝑈2 =_ _ _ _ (terme de rang _ _ )
𝑈3 =5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Remarque : Ne pas confondre (un) l'écriture avec parenthèses qui désigne la suite et
l'écriture sans un parenthèse qui désigne le n-ième terme de la suite.
b) Suite définie par une relation explicite
Définition : une suite est définie de façon explicite lorsqu'on dispose d'une formule du
type un =f(n) permettant de calculer chaque terme de la suite à partir de son rang.
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Exemple : la suite (un) définie par la formule explicite un =2n+13 est telle que :
c) Suite définie par une relation de récurrence
Définition : une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu'on dispose du premier
terme et d'une formule du type un+1=f(un) permettant de calculer chaque terme de la suite à
partir du terme précédent..
Remarque :il est possible de calculer un terme quelconque d'une suite définie par une relation de
récurrence mais il faut au préalable calculer tous les termes précédents. Comme cela peut se
révéler long, on utilise parfois un algorithme pour faire ce calcul.
Exemple : La suite (un) définie par la formule de récurrence {u0=1 un+1=2un−3 est telle que :
𝑈0 = 1 ; 𝑈1 = 2 × 1 − 3 = _ _ _ ;
Entrées
: n , I deux nombres entiers , U un nombre réel
Initialisation : saisir « 𝑈0 » ; U
Saisir « n » ; n
Traitement : pour I allant de 1 à n
Faire U prend la valeur 2𝑈 − 3
Fin Pour
Sortie
: afficher « U » ; afficher n ; afficher U
PROGRAMME
2
CALCULATRICE
:
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2. Représentation graphique d’une suite:
Définition : la représentation graphique d'une suite (un) (n ∈ ℕ) dans un repère du plan,
s'obtient en plaçant les points de coordonnées (n ; un ) lorsque n parcourt ℕ.
3
Exemple : pour représenter la suite définie par 𝑈𝑛 = 1 + 𝑛+1 on calcule:
y
𝑈0 =
; 𝑈1 =
; 𝑈2 =
;
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
-0.5
-1
3. Sens de variation d’une suite numérique
Définitions :

On dit qu'une suite (un) est croissante (resp.décroissante) si pour tout entier
naturel n : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

On dit qu'une suite (un) est strictement croissante (resp.strictement
décroissante) si pour tout entier naturel n : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_____

On dit qu'une suite (un) est constante si pour tout entier naturel n : _ _ _ _ _ _ _
_______ _______
3
6.5
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Remarques :
Une suite peut n'être ni croissante,, ni décroissante, ni constante. C'est le cas, par exemple
de la suite définie par un=(−1)n dont les termes valent successivement : 1; −1; 1; −1; 1; −1...
En pratique pour savoir si une suite (un) est croissante ou décroissante, on calcule un+1−un :
si un+1−un ≥ 0 pour tout n ∈ N, la suite un est
si un+1−un ≤ 0 pour tout n ∈ N, la suite un est
si un+1−un = 0 pour tout n ∈ N, la suite un est
.
Exemple : soit (un ) la suite définie, pour tout n ∈ ℕ, par 𝑈𝑛 = 2 − 3𝑛.
Etudier le sens de variation de (un ).
𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛 =
4