Propriété : Pour tous nombres complexes a et b, et pour tout entier n

Propriété : Pour tous nombres complexes a et b, et pour tout entier n ≥ 1,
1 2 2 1
0
( ) ...
1 2 1
− − − −
=
+ = + + + + + =
−
∑
n
n n n n n n n k k
k
n n n n
a b a a b a b a b b a b
n k
Le nombre
n
k
est le coefficient du produit an – k bk dans le développement de (a + b)n,
appelé binôme de Newton.
Démonstration : Utilisons une démonstration par récurrence.
• Initialisation : La formule est vérifiée pour n = 1.
En effet, le second membre 1 1
0 1
+
a b
est égal au premier membre a + b.
• Transmission : Supposons que la formule soit vraie au rang n - 1 (c’est-à-dire :
( )
1
1 1 - -1 -1
1 1 1 1
... ...
0 1 1
n
n n n k k n
n n n n
a b a a b a b b
k n
−− −
− − − −
+ = + + + + +
−
        .
Vérifions qu’elle l’est au rang n .
Pour obtenir (a + b)
n, il suffit de multiplier
( )
1
n
a b
−
+ par ( a + b ).
Dans
( )
n
a b
+ , le terme
n k k
a b
−
s’obtient alors de deux façons :
- soit en multipliant
- 1
1
1
n k k
n
a b
k
−
−
−
  par b,
- soit en multipliant - -1
1
n k k
n
a b
k
−
  par a.
Or, d’après la propriété,
1 1
1
n n n
k k k
− −
= +
−
.
Alors le coefficient de
n k k
a b
−
est bien
n
k
au rang n.
• Conclusion :
( )
1 -2 2 -1 -
0
...
1 2 1
n
n
n n n n n n k k
k
n n n n
a b a a b a b a b b a b
n k
−
=
+ = + + + + + =
−
∑
.