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Correction : 97 p. 87
Voici les premières valeurs de la suite :
On conjecture que, pour tout entier naturel n, on a : un = 3 .
Démontrons par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a : un = 3 .
•
Initialisation : On a : u0 = 3 et 3 = 31 = 3. Donc : u0 = 3 .
La propriété est vraie au rang n = 0.
•
Héréditaire : Soit k un entier naturel fixé. On suppose que la propriété est vraie
au rang k, soit : uk = 3 .
On a : uk + 1
= uk2
= 3
=3 ×
=3
La propriété est donc héréditaire.
On a donc démontré par récurrence que : pour tout entier naturel n, on a : un = 3
Correction : 99 p. 87
Démontrons par récurrence, que pour tout entier naturel n ≥ 3, on peut trouver n nombres
entiers naturels strictement positifs, x1 < x2 < … < xn tels que :
+ + … + = 1.
On peut remarquer que : x1 ≠ 1, sinon
•
Initialisation :
+
+
= 1 soit
+
+…+
> 1.
=1
La propriété est vraie au rang n = 3. Ici : x1 = 2, x2 = 3 et x3 = 6.
•
Héréditaire : Soit k un entier naturel fixé. On suppose que la propriété est vraie
au rang k, soit on peut trouver k nombres entiers naturels strictement positifs,
1 < x1 < x2 < … < xk tels que :
+ + … + = 1 (*).
On multiplie par 2 l’inégalité : 2 < 2x1 < 2x2 < … < 2xk
En divisant par deux l’égalité (*), on obtient :
+
Donc : +
+
+…+
+…+
= .
=1
On pose alors : y1 = 2, y2 = 2x1, …, yk + 1 = 2xk.
De plus, l’inégalité devient : 1 < y1 < y2 < y3 < … < yk + 1
On obtient donc (k + 1) nombres entiers naturels strictement positifs,
1 < y1 < y2 < … < yk + 1 tels que :
+ + … + = 1.
On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 3, on peut trouver n
+ + … + = 1.
nombres entiers naturels strictement positifs, x1 < x2 < … < xn tels que :
Correction : 97 et 99 p. 87
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