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Correction : 97 et 99 p. 87 1/1
Correction : 97 p. 87
Voici les premières valeurs de la suite :
On conjecture que, pour tout entier naturel n, on a : u
n
= 3 .
Démontrons par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a : u
n
= 3 .
• Initialisation : On a : u
0
= 3 et 3 = 3
1
= 3. Donc : u
0
= 3 .
La propriété est vraie au rang n = 0.
• Héréditaire : Soit k un entier naturel fixé. On suppose que la propriété est vraie
au rang k, soit : u
k
= 3 .
On a : u
k + 1
= u
k2
= 3
= 3
×
= 3
La propriété est donc héréditaire.
On a donc démontré par récurrence que : pour tout entier naturel n, on a : u
n
= 3
Correction : 99 p. 87
Démontrons par récurrence, que pour tout entier naturel n ≥ 3, on peut trouver n nombres
entiers naturels strictement positifs, x
1
< x
2
< … < x
n
tels que : + + … + = 1.
On peut remarquer que : x
1
≠ 1, sinon = 1 soit + + … + > 1.
• Initialisation : + + = 1
La propriété est vraie au rang n = 3. Ici : x
1
= 2, x
2
= 3 et x
3
= 6.
• Héréditaire : Soit k un entier naturel fixé. On suppose que la propriété est vraie
au rang k, soit on peut trouver k nombres entiers naturels strictement positifs,
1 < x
1
< x
2
< … < x
k
tels que : + + … + = 1 (*).
On multiplie par 2 l’inégalité : 2 < 2x
1
< 2x
2
< … < 2x
k
En divisant par deux l’égalité (*), on obtient : + + … + = .
Donc : + + + … + = 1
On pose alors : y
1
= 2, y
2
= 2x
1
, …, y
k + 1
= 2x
k
.
De plus, l’inégalité devient : 1 < y
1
< y
2
< y
3
< … < y
k + 1
On obtient donc (k + 1) nombres entiers naturels strictement positifs,
1 < y
1
< y
2
< … < y
k + 1
tels que : + + … + = 1.
On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 3, on peut trouver n
nombres entiers naturels strictement positifs, x
1
< x
2
< … < x
n
tels que : + + … + = 1.