Lycée La Mennais 2022/2023 LES SUITES (1/2) : concept Alain DIETRICH utilité - décrire les phénomènes discrets du monde Une suite numérique est une liste de nombres. Les nombres de cette liste s’appellent des termes. On nomme les termes : - le premier terme de la liste s’appelle u0. - le deuxième terme s’appelle u1, etc. 0 est le rang du terme u0. Le rang est toujours un entier naturel ℕ . u0 est donc le terme de rang 0. u1 est le terme de rang 1, etc. Le rang est toujours écrit en indice de u, c’est à dire en bas à droite de cette lettre. Une suite est définie par son premier terme et par son terme général. Le terme général s’appelle un : c’est le terme de rang n. (un) est : « la suite de premier terme u0 et de terme général un ». Le terme u38 vient juste après le terme u37. On dit que u37 et u38 sont des termes consécutifs. un et un+1 sont des termes consécutifs. définition explicite : un = f(n) ex : un = 2n + 3 + 3n2 par récurrence : un+1 = f(un) et u0 donné ex : un+1 = 2 un + 3, avec u0 = 5 monotonie (aka variation) suite croissante à partir d’un certain rang p : si n > p alors un+1 ≥ un suite décroissante à partir d’un certain rang p : si n > p alors un+1 ≤ un plusieurs méthodes : - comparer un+1 ― un à 0 - comparer un+1 ÷ un à 1 les termes doivent toujours tous être de même signe - si formule explicite alors adosser la courbe discrète f(n) à la courbe continue f(x) puis étudier classiquement la variation de f(x) - si formule de récurrence alors raisonnement par récurrence limite L’objectif est d’étudier la valeur prise par un lorsque n tend vers +∞. si une valeur unique existe en cet infini alors la suite converge sinon la suite diverge graphique Puisque nous construisons une simple liste de nombres, les termes de la suite sont fondamentalement autant d’abscisses sur une droite numérique. Mais pour donner un peu de relief à la chose, une représentation du rang est parfois souhaitable. - toujours possible : tableau de valeurs [ n ; un ] placer les points (n en abscisse ; un en ordonnée) dans le repère - formule explicite : adosser la courbe f(n) à la courbe f(x) : ne garder que les points dont l’abscisse est dans ℕ - formule de récurrence : adosser la courbe f(un) à la courbe f(x) : placer u0 sur l’axe des abscisses calculer u1 comme l’ordonnée de l’abscisse u0 : le point ( u0 ; u1 ) est sur f(x) à l’aide de la première bissectrice (équation y=x), placer u1 sur l’axe des abscisses calculer u2 comme l’ordonnée de l’abscisse u1, etc. technologie puissante mais subtile de prime abord qui permet, une fois f tracée, de placer les terme sans calculs additionnels, et uniquement par mécanisme graphique de type FB (FONCTION-BISSECTRICE-FONCTION-BISSECTRICE-…), puis d’apprécier une convergence ou pas
