Fiche : la fonction inverse

Fiche : la fonction inverse
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Fiche : la fonction inverse
I)
Sens de variation
Les branches se rapprochent de plus en plus des axes,
mais sans jamais les toucher.
1
. Elle n’est définie que pour x 6= 0.
x
Elle est décroissante sur ] − ∞; 0[ et décroissante sur ]0; +∞[
La fonction inverse est la fonction définie par x 7→
x
−∞
0
+∞
1
Pour bien la tracer, placer les points d’abscisses , 1, 2, et les points symétriques par
f (x)
2
rapport à O.
1. Exercice résolu
En utilisant la courbe et le sens de variation de la fonction inverse, résoudre l’in1
équation < 2.
1. Exercice résolu
x
1
1
On trace la droite horizontale d’équation y = 2 et on cherche les points de la courbe
Sans calcul, comparer les deux nombres
et
0.3
1.8
qui sont en-dessous de cette droite. La réponse est alors l’ensemble des abscisses de
On sait que 0.3 < 1.8. De plus, ces deux nombres appartiennent à l’intervalle
ces points.
1
1
La droite coupe la courbe en un point, qui vérifie
]0; +∞[. Or la fonction inverse est décroissante sur cet intervalle, donc
>
0.3
1.8
1
1
= 2, c’est-à-dire x = Elle est en dessous sur les
x
2
1
1
1
2. Sans calcul, comparer
et
intervalles ] − ∞; 0[ et
; +∞
−2.3
−3.1
2
1
1
1
3. Sans calcul, comparer −
et −
; +∞
L’ensemble des solutions est ] − ∞; 0[ ∪
1.7
2.4
2
4. Déterminer un encadrement de
II)
1
lorsque 10 < x < 100
x
Courbe
2. En utilisant la courbe et le sens de variation, résoudre l’inéquation
III)
Exercices divers
a) Donner un encadrement de
La courbe de la fonction inverse est formée de deux branches disjointes, symétriques
l’une de l’autre par rapport au point origine.
Cette courbe est appelée une hyperbole
b) Résoudre
1
<2
x2
1
lorsque 1 < x < 3.
x−5
1
> −2
x