Fiche : la fonction inverse

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Fiche : la fonction inverse
I) Sens de variation
La fonction inverse est la fonction définie par x7→ 1
x. Elle n’est définie que pour x6= 0.
Elle est décroissante sur ]− ∞; 0[ et décroissante sur ]0; +∞[
x−∞ 0+∞
f(x)
1. Exercice résolu
Sans calcul, comparer les deux nombres 1
0.3et 1 1.8
On sait que 0.3<1.8. De plus, ces deux nombres appartiennent à l’intervalle
]0; +∞[. Or la fonction inverse est décroissante sur cet intervalle, donc 1
0.3>1 1.8
2. Sans calcul, comparer 1
−2.3et 1 −3.1
3. Sans calcul, comparer −1
1.7et −1 2.4
4. Déterminer un encadrement de 1
xlorsque 10 <x<100
II) Courbe
La courbe de la fonction inverse est formée de deux branches disjointes, symétriques
l’une de l’autre par rapport au point origine.
Cette courbe est appelée une hyperbole
Les branches se rapprochent de plus en plus des axes,
mais sans jamais les toucher.
Pour bien la tracer, placer les points d’abscisses 1
2,1,2, et les points symétriques par
rapport à O.
1. Exercice résolu
En utilisant la courbe et le sens de variation de la fonction inverse, résoudre l’in-
équation 1
x<2.
On trace la droite horizontale d’équation y= 2 et on cherche les points de la courbe
qui sont en-dessous de cette droite. La réponse est alors l’ensemble des abscisses de
ces points.
La droite coupe la courbe en un point, qui vérifie
1
x= 2, c’est-à-dire x=1 2Elle est en dessous sur les
intervalles ]− ∞; 0[ et 1
2; +∞
L’ensemble des solutions est ]− ∞; 0[ ∪1
2; +∞
2. En utilisant la courbe et le sens de variation, résoudre l’inéquation 1
x>−2
III) Exercices divers
a) Donner un encadrement de 1
x−5lorsque 1<x<3.
b) Résoudre 1
x2<2