1 Suites numériques I. Définition et modes de - index - mf-go

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1ère ES
Suites numériques
I. Définition et modes de génération d’une suite
1°/ Notion de suite, notations
Lors de tests logiques, on demande parfois de compléter de telles listes de nombres :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ;
;
-1 ;
;
;
etc …
;
;
etc …
Une suite est une liste ordonnée de nombres réels, les éléments de la suite sont appelés termes .
On repère les termes par leur rang dans la suite.
On peut noter
le premier terme, le suivant, etc …
On peut noter
la suite,
,
ses termes .
Exemple : évolution d’un capital soumis à intérêts :
On peut noter
la suite des capitaux,
le capital de départ,
celui acquis au bout d' un mois,
Définition : Une suite
une fonction dont l' ensemble de définition est , ou une partie de .
A chaque entier naturel , elle associe le terme d’indice (ou de rang
Exemples :
Ex 1 :
est la suite qui, à chaque entier naturel, associe son carré .
,
Ex 2 :
est la suite qui, à chaque entier naturel, associe son inverse .
,
2°/ Deux modes de génération d’une suite
a. Mode explicite
Dans ce cas, l’expression explicite du terme général
permet de calculer tout terme .
Type
où est une fonction définie sur un intervalle
Exemples :
Ex 2 :
Ex 1 :
est la suite qui, à chaque entier naturel, associe son carré .
où est la fonction « carré », définie sur
est la suite définie, pour tout
par
.
b. Mode récurrent
Dans ce cas, une relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite, à partir du précédent :
Type :
où
est une fonction définie sur un intervalle
Ou encore
Exemples : Ex 1 :
Ex 2 :
est la suite définie, pour tout
est la suite définie, pour tout
par
par
,
calculer les 4 premiers termes
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II . Sens de variation d’une suite
1°/ Définition :
Dire qu’une suite
est :
 Strictement croissante à partir du rang , signifie que, pour tout
, on a
 Strictement décroissante à partir du rang , signifie que, pour tout
, on a
 Stationnaire ( ou constante ) à partir du rang , signifie que, pour tout
, on a
.
Remarque : toute suite n’est pas monotone, ou monotone à partir d’un certain rang :
Exemple :
est la suite définie, pour tout
par
Calcul des premiers termes :
Conclusion :
2°/ Méthodes d’études des variations

Etude du signe de

Si tous les termes sont strictement positifs, comparaison de

Si la suite est définie à l’aide d’une fonction, (
, étude des variations de
Si f est croissante sur un intervalle (bien choisi ) inclus dans
alors (
est croissante,
si f est décroissante, alors (
est décroissante.
Dém :
Attention, réciproque fausse . La monotonie de
à 1
est une condition suffisante mais pas nécessaire
Exemples d’application (à traiter sur feuille annexe)
Exercice1 : Etude de la monotonie de ces quatre suites
a.
est la suite définie, pour tout
par
b.
est la suite définie, pour tout
par
c.
est la suite définie, pour tout
par
d
est la suite définie, pour tout
par
Exercice 2 : ( à traiter sur feuille annexe)
La suite (
est définie par
a. donner les cinq premiers termes
b. on pose
où est une fonction définie sur l intervalle
étudier le sens de variation de la suite
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III. Suites arithmétiques . Suites géométriques
1°/ Suites arithmétiques
 Dire que la suite
est arithmétique signifie qu’il existe un réel tel que, pour tout entier naturel
La suite est définie par récurrence :
Exemple :
est la suite définie, pour tout
par
On passe d’un terme au suivant en __________________________________________________

Si une telle suite est définie par son premier terme
Pour
et sa raison , alors, pour tout entier naturel
entier naturel vérifiant
Schéma :
Exemple :
est la suite précédente
, alors pour tout
,
Ainsi :

Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique :
( S a … termes )
( = nbre de termes
démonstration :
Exemple :
est la suite précédente
, calculer

A bien connaître :

Sens de variation d’une suite arithmétique :
1+2+…+n=
Si r>0 , alors la suite est strictement croissante
Si r<0 , alors la suite est strictement décroissante
)
,
,
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2°/ Suites géométriques
 Dire que la suite
est géométrique signifie qu’il existe un réel
tel que, pour tout entier naturel ,
La suite est définie par récurrence :
Exemple :
est la suite définie, pour tout
par
On passe d’un terme au suivant en __________________________________________________

Si une telle suite est définie par son premier terme
Pour
et sa raison , alors, pour tout entier naturel
,
entier naturel vérifiant
Schéma :
Exemple :
est la suite précédente
, alors pour tout
,
Ainsi :

Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :
( S a … termes )
Si
Si
Exemple :

est la suite précédente
A bien connaître :
, calculer
pour
1+
=
Exercices (à traiter sur feuille annexe)
Exercice 1 :
Parmi les suites proposées, lesquelles sont arithmétiques, géométriques, ni l’une ni l’autre ?
a.
b.
c.
Exercice 2 :
La suite
est définie par
; prouver que cette suite est géométrique et calculer S =