1 Suites numériques I. Définition et modes de - index - mf-go

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Suites numériques 1ère ES
I. Définition et modes de génération d’une suite
1°/ Notion de suite, notations
Lors de tests logiques, on demande parfois de compléter de telles listes de nombres :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ; ; etc … 
-1 ; 
 ; ; ; etc …
Une suite est une liste ordonnée de nombres réels, les éléments de la suite sont appelés termes .
On repère les termes par leur rang dans la suite.
On peut noter le premier terme,  le suivant, etc …
On peut noter  la suite,    ,  ses termes .
Exemple : évolution d’un capital soumis à intérêts :
On peut noter  la suite des capitaux, le capital de départ,
celui acquis au bout d' un mois, 
Définition : Une suite une fonction dont l' ensemble de définition est, ou une partie de .
A chaque entier naturel  , elle associe le terme d’indice  (ou de rang 
Exemples :
Ex 1 :  est la suite qui, à chaque entier naturel, associe son carré .
 ,  
Ex 2 : est la suite qui, à chaque entier naturel, associe son inverse .
 ,  
2°/ Deux modes de génération d’une suite
a. Mode explicite
Dans ce cas, l’expression explicite du terme général  permet de calculer tout terme .
Type  où  est une fonction définie sur un intervalle   
Exemples : Ex 1 :  est la suite qui, à chaque entier naturel, associe son carré .
 où  est la fonction « carré », définie sur    
Ex 2 :  est la suite définie, pour tout par  .
b. Mode récurrent
Dans ce cas, une relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite, à partir du précédent :
Type : 
  où  est une fonction définie sur un intervalle 
Ou encore 
Exemples : Ex 1 :  est la suite définie, pour tout par 
Ex 2 :  est la suite définie, pour tout  par 
 , calculer les 4 premiers termes

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II . Sens de variation d’une suite
1°/ Définition :
Dire qu’une suite  est :
 Strictement croissante à partir du rang , signifie que, pour tout , on a  
 Strictement décroissante à partir du rang , signifie que, pour tout , on a  
 Stationnaire ( ou constante ) à partir du rang , signifie que, pour tout , on a  .
Remarque : toute suite n’est pas monotone, ou monotone à partir d’un certain rang :
Exemple :  est la suite définie, pour tout  par 
Calcul des premiers termes :
Conclusion :
2°/ Méthodes d’études des variations
 Etude du signe de  
 Si tous les termes sont strictement positifs, comparaison de 
 à 1
 Si la suite est définie à l’aide d’une fonction, (, étude des variations de 
Si f est croissante sur un intervalle (bien choisi ) inclus dans alors (  est croissante,
si f est décroissante, alors (  est décroissante.
Dém :
Attention, réciproque fausse . La monotonie de  est une condition suffisante mais pas nécessaire
Exemples d’application (à traiter sur feuille annexe)
Exercice1 : Etude de la monotonie de ces quatre suites
a. est la suite définie, pour tout par 
b.  est la suite définie, pour tout par 
c.  est la suite définie, pour tout  par 
d  est la suite définie, pour tout par  
Exercice 2 : ( à traiter sur feuille annexe)
La suite (  est définie par  
a. donner les cinq premiers termes
b. on pose  où  est une fonction définie sur l intervalle étudier le sens de variation de la suite 

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III. Suites arithmétiques . Suites géométriques
1°/ Suites arithmétiques
 Dire que la suite  est arithmétique signifie qu’il existe un réel  tel que, pour tout entier naturel ,
La suite est définie par récurrence : 
Exemple :  est la suite définie, pour tout  par 
On passe d’un terme au suivant en __________________________________________________
 Si une telle suite est définie par son premier terme  et sa raison , alors, pour tout entier naturel ,
Pour  entier naturel vérifiant  
Schéma :
Exemple :  est la suite précédente 
 , alors pour tout  , 
Ainsi :     
 Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique :
 ( S a … termes )
 ( = nbre de termes   )
démonstration :
Exemple :  est la suite précédente , calculer 
 A bien connaître : 1 + 2 + … + n = 
 Sens de variation d’une suite arithmétique :
Si r>0 , alors la suite est strictement croissante
Si r<0 , alors la suite est strictement décroissante

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2°/ Suites géométriques
 Dire que la suite  est géométrique signifie qu’il existe un réel  tel que, pour tout entier naturel ,
La suite est définie par récurrence : 
Exemple :  est la suite définie, pour tout  par 
On passe d’un terme au suivant en __________________________________________________
 Si une telle suite est définie par son premier terme  et sa raison , alors, pour tout entier naturel ,
Pour  entier naturel vérifiant  
Schéma :
Exemple :  est la suite précédente 
 , alors pour tout  , 
Ainsi :     
 Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :
 ( S a … termes )
Si  
Si  
Exemple :  est la suite précédente , calculer 
 A bien connaître : pour  1 + = 
Exercices (à traiter sur feuille annexe)
Exercice 1 : Parmi les suites proposées, lesquelles sont arithmétiques, géométriques, ni l’une ni l’autre ?
a. 
  b.  c . 
Exercice 2 :
La suite  est définie par 
 ; prouver que cette suite est géométrique et calculer S = 