NOM : Devoir surveillé n° 2 Terminale ES/L Exercice 1 : (8 points

NOM : Devoir surveillé n° 2 Terminale ES/L
Exercice 1 : (8 points)
Soit f la fonction définie sur [1 ; 10] par f (x) =
2x2–30 x+200+5
x
.
1. Montrer que f '(x) =
4x³–30 x2–50
x2
.
2. On considère la fonction g définie par g (x) =
4x³–30 x2−50
.
a. Étudier le sens de variation de g sur [1 ; 10].
b. Démontrer que l'équation g (x) = 0 admet une unique solution  sur [1 ; 10], et donner l'arrondi de  à 0,1
près.
c. En déduire le tableau de signes de g (x) sur [1 ; 10].
3. Établir le tableau de variations de f sur [1 ; 10].
Exercice 2 : (12 points)
La suite (
un
) est définie pour tout nombre entier naturel n par :
{
u0=5
un+1=1
2un+1
Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n non nul donné, tous les termes de la
suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
U prend la valeur 5
Pour i de 0 à N faire
Affecter à U la valeur
1
2
×U+1
Fin Pour
Afficher U
Fin
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
U prend la valeur 5
Pour i de 0 à N faire
Afficher U
Affecter à U la valeur
1
2
×U+1
Fin Pour
Fin
Variables :
U est un nombre réel
i et N sont des nombres entiers
Début
Saisir une valeur pour N
Pour i de 0 à N faire
U prend la valeur 5
Afficher U
Affecter à U la valeur
1
2
×U+1
Fin Pour
Fin
Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3
2. On saisit la valeur 9 pour N, l'affichage est le suivant :
Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
Partie B
On introduit une suite auxiliaire (
vn
) définie, pour tout entier naturel n, par
vn
=
un
– 2.
1. Montrer que (
vn
) est une suite géométrique. Préciser sa raison q et son premier terme
v0
.
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a
un
=
2+3×
(
1
2
)
n
.
3. Étudier les variations de la suite (
un
).
4. Déterminer la limite de la suite (
un
).
5. A la calculatrice, déterminer à partir de quel rang on a
un
– 2 
10−6
.
Bonus (+ 1 point) :
Calculer la valeur exacte et l'arrondi à 0,01 près de
u0
+
u1
+
u2
+ …. +
u12
.
5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059