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1ERE S CHAPITRE 10 : SUITES NUMÉRIQUES
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I Les suites numériques
1. Définition
Exemple 1
Soit
n
u
la suite définie pour tout entier naturel par
52  nun
, alors,
5502
0u
;
3512
1u
;
1522
2u
; …..
175112
11 u
Exercice
Ecrire un algorithme permettant de calculer et d’afficher les termes de la suite de l’exemple précédent.
Vérifier les calculs précédents.
2. Mode de génération de suites
2.1 Définition explicite d’une suite
Exemple 2
Dans l’exemple précédent,
nfun
où f est la fonction affine définie par
f
: ⟼
52 x
2.2 Définition d’une suite par récurrence
Exemple 3
Soit
n
u
la suite définie pour tout entier naturel par
12
4
1
0
nn uu u
, alors,
714212 01  uu
;
1317212 12  uu
II Sens de variation d’une suite
Exemple 4
Définition 1
Une suite
u
de nombres réels est une fonction définie sur l’ensemble ℕ des entiers naturels.
On note
n
u
le terme général de la suite, qui est l’image par
u
d’un entier naturel
n
.
n
u
se lit « u
indice n ».
Définition 2
Une suite peut être définie par une fonction f de la variable
n
c’est-à-dire le terme général
n
u
est
l’image de l’entier
n
par une fonction f .
Définition
 Une suite
n
u
est croissante si, pour tout naturel
n
,
1n
u
≥
n
u
 Une suite
n
u
est décroissante si, pour tout naturel
n
,
1n
u
≤
n
u
 Une suite
n
u
est constante si, pour tout naturel
n
,
1n
u
=
n
u
 Une suite
n
u
est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
Définition 3
Une suite peut être définie par la donnée de son premier terme et d’une relation, dite de récurrence,
qui permet de calculer un terme à partir du précédent.

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 Soit
n
u
la suite définie pour tout entier naturel par
8
2 nnun
.
Pour tout entier naturel
n
, on a
nnnnnuu nn 28811 2
2
1
Or pour tout entier naturel
n
,
n2
≤ 0 donc
nn uu  1
≤ 0 . Ainsi pour tout entier, la suite
n
u
est
décroissante.
 Soit
n
v
la suite définie pour tout entier naturel par
2
2
nn vn
.
nf
nn
vn 2
2
, avec
2
2
xx xf
définie sur [0 ; +∞[ .
Or
2
2
2
2
2
4
2122
xxx
xxxx
x' f
Sur [0 ; +∞[ , la dérivée est positive, donc la fonction f est croissante, ainsi pour tout entier, la suite
n
v
est croissante.
III Recherche de seuils
Pour tout réel A, peut-on trouver un seuil
0
n
à partir duquel tous les termes
n
u
sont supérieurs à A ?
Pour répondre à cette question on résout l’inéquation
n
u
≥ A.
Exemple 5
Soit
n
u
la suite définie par
1 nun
, n ϵℕ
Pour déterminer le plus petit entier
0
n
tel que pour tout
n
≥
0
n
,
n
u
≥
100
, on résout l’inéquation
1n
≥
100
.
1n
≥
100
n 
≥
99
n 
≥
9801
.
On en déduit que le seuil à partir duquel tous les termes
n
u
sont au moins égaux à 100 est
9801
0n
IV Approche de la notion de limite
Que deviennent les termes d’une suite
n
u
lorsque
n
prend des valeurs de plus en plus grandes c’est-à-
dires lorsque n tend « plus l’infini » ?
Pour répondre à cette question, on peut conjecturer le comportement de la suite à partir d’une
représentation graphique des termes de la suite à l’aide de la calculatrice.
Exemple 6
Soit
n
u
la suite définie par
1
2 nnun
, n ϵℕ Soit
n
v
la suite définie par
n
un3
, n ϵℕ*
Les termes deviennent de plus en plus grands quand Les termes deviennent de plus en plus
petits quand
n
devient grand.
n
devient grand.

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On dit que la suite
n
u
a pour limite +∞ quand On dit que la suite
n
v
a pour limite 0
quand
n
tend vers +∞
n
tend vers +∞.