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1ERE S
CHAPITRE 10 : SUITES NUMÉRIQUES
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I Les suites numériques
1. Définition
Définition 1
Une suite u de nombres réels est une fonction définie sur l’ensemble ℕ des entiers naturels.
On note u n le terme général de la suite, qui est l’image par u d’un entier naturel n . u n se lit « u
indice n ».
Exemple 1
Soit u n  la suite définie pour tout entier naturel par un  2n  5 , alors,
u 0  2  0  5  5 ;
u1  2  1 5  3 ;
u 2  2  2  5  1 ; …..
u11  2  11 5  17
Exercice
Ecrire un algorithme permettant de calculer et d’afficher les termes de la suite de l’exemple précédent.
Vérifier les calculs précédents.
2. Mode de génération de suites
2.1 Définition explicite d’une suite
Définition 2
Une suite peut être définie par une fonction f de la variable n c’est-à-dire le terme général u n est
l’image de l’entier n par une fonction f .
Exemple 2
Dans l’exemple précédent, un  f n  où f est la fonction affine définie par f : ⟼ 2x  5
2.2 Définition d’une suite par récurrence
Définition 3
Une suite peut être définie par la donnée de son premier terme et d’une relation, dite de récurrence,
qui permet de calculer un terme à partir du précédent.
Exemple 3
 u0  4
, alors,
un 1  2un  1
Soit u n  la suite définie pour tout entier naturel par 
u1  2u 0  1  2  4  1  7 ; u 2  2u1  1  2  7  1  13
II Sens de variation d’une suite
Définition

Une suite u n  est croissante si, pour tout naturel n , u n 1 ≥ u n

Une suite u n  est décroissante si, pour tout naturel n , u n 1 ≤ u n

Une suite u n  est constante si, pour tout naturel n , u n 1 = u n

Une suite u n  est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.
Exemple 4
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
Soit u n  la suite définie pour tout entier naturel par un  n 2  n  8 .
Pour tout entier naturel n , on a un 1  un  n  12  n  1  8   n 2  n  8  2n
Or pour tout entier naturel n ,  2n ≤ 0 donc un 1  un ≤ 0 . Ainsi pour tout entier, la suite u n  est
décroissante.

Soit v n  la suite définie pour tout entier naturel par v n 


n2
.
n 2
n2
x2
 f n  , avec f x  
définie sur [0 ; +∞[ .
n2
x 2
2x x  2  1 x 2
x 2  4x

Or f ' x  
 x  2 2
x  22
vn 
 
Sur [0 ; +∞[ , la dérivée est positive, donc la fonction f est croissante, ainsi pour tout entier, la suite
v n  est croissante.
III Recherche de seuils
Pour tout réel A, peut-on trouver un seuil n 0 à partir duquel tous les termes u n sont supérieurs à A ?
Pour répondre à cette question on résout l’inéquation u n ≥ A.
Exemple 5
Soit u n  la suite définie par un  n  1, n ϵℕ
Pour déterminer le plus petit entier n 0 tel que pour tout n ≥ n 0 , u n ≥ 100 , on résout l’inéquation n  1≥
100 .
n  1≥ 100 
n ≥ 99
 n ≥ 9801.
On en déduit que le seuil à partir duquel tous les termes u n sont au moins égaux à 100 est n 0  9801
IV Approche de la notion de limite
Que deviennent les termes d’une suite u n  lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes c’est-àdires lorsque n tend « plus l’infini » ?
Pour répondre à cette question, on peut conjecturer le comportement de la suite à partir d’une
représentation graphique des termes de la suite à l’aide de la calculatrice.
Exemple 6
Soit u n  la suite définie par un  n 2  n  1, n ϵℕ
Les termes deviennent de plus en plus grands quand
Soit v n  la suite définie par un 
Les termes deviennent de plus en plus
petits quand
n devient grand.
3
, n ϵℕ*
n
n devient grand.
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On dit que la suite u n  a pour limite +∞ quand
On dit que la suite v n  a pour limite 0
quand
n tend vers +∞
n tend vers +∞.