MONOTONIE D`UNE SUITE

MONOTONIE D'UNE SUITE
Dans les exemples , onutilisera les suites et la fonction f suivantes :
v0 = 0, 5
un = n2 , f (x) = x2 et
vn = f (vn−1 )
Rappelons qu'une suite telle que (un ) est dite dénie de façon explicite (car
directement en fonction de n), alors que la suite (vn ) est dite dénie de façon
récurrente (car chaque terme dépend de son prédecesseur).
Notons d'emblée que certaines suites
sont ni croissantes ni décroissantes
nπne
).
( tester par exemple la suite sn = sin
2
De telles suites ne sont pas monotones.
Pour être monotone une suite doit étre croissante ou décroissante au moins
à partir d'un certain rang.
Je donne ici quatre méthodes possibles d'étude de monotonie :
Méthode 1
Etudier le signe de
un+1 − un
Méthode fréquente pour les suites explicites, plus rarement pour les suites
récurrentes.
Exemple
un+1 −un = (n+1)2 −n2 = 2n+1 > 0 ; on en déduit que (un ) est strictement
croissante.
Méthode 2
Utiliser le théorème suivant, valable EXCLUSIVEMENT
pour les suites explicites :
Théorème : Si un = f (n) et si f est monotone SUR [0; +∞[ alors la suite
(un ) admet la même monotonie que f .
Exemple
un = f (n) avec f : x 7→ x2 qui est strictement croissante sur [0; +∞[. Alors
la suite (un ) l'est aussi.
ATTENTION : Ce théorème ne fonctionne pas avec les suites récurrentes :
1
1
1
La suite (vn ) en est un contre exemple ; en eet v0 = , v1 = , v2 = ,
2
4
16
. . . montrent qu'aux premiers rangs cette suite décroît.
Or vn+1 = f (vn ) et pourtant f est croissante sur [0; +∞[ . . .
1
G.Gremillot
Méthode 3
un 6= 0
Etudier si
un+1
> 1
un
ou si
est en tenant bien compte du
un+1
< 1,
un
de un .
signe
en précisant
Cette technique est peu recommandable et n'est bien adaptée que pour les cas
où la suite est une puissance ou un produit de puissances.
Exemple
Pour n 6= 0, un = n2n'est pas
nul, alors :
2
2
n+1
1
(n + 1)2
un+1
=
= 1+
>1
=
2
un
n
n
n
Comme un est toujours positif, on en déduit que la suite (un ) est strictement
croissante à partir du rang 1.
Cas où la suite est négative :
wn = −2n dénit une suite clairement négative.
wn+1
−2n+1
=2>1
=
wn
−2n
w
Mais, la suite w étant négative, n+1 > 1 ⇔ wn+1 < wn et la suite est
wn
décroissante. (Testez
Méthode 4
les premiers termes pour vous en convaincre
)
Raisonner par récurrence.
Méthode fréquente en cas de suites récurrentes.
Exemple
On va prouver par récurrence, de deux façons, que vn+1 = f (vn ) = vn2 dénit
une suite décroissante :
Première possibilité
Initialisation :
v1 < v0
On suppose que, pour un certain rang n ≥ 1, on a vn < vn−1
et on doit prouver qu'alors vn+1 < vn .
Sachant que vn < vn−1 et puisque la fonction f est strictement croissante
sur [0; +∞[, on a f (vn ) < f (vn−1 ) c'est-à-dire vn+1 < vn .
Conclusion :
D'après le principe de récurrence, pour tout entier n, on a
vn+1 < vn et la suite v est décroissante.
Hérédité :
Deuxième possibilité
Initialisation :
v1 − v0 < 0
On suppose que, pour un certain rang n ≥ 1, on a vn − vn−1 < 0
et on doit prouver qu'alors vn+1 − vn < 0.
Hérédité :
2
vn+1 − vn = vn2 − vn−1
= (vn − vn−1 )(vn + vn−1 )
Le premier facteur vn − vn−1 est négatif d'après l'hypothèse de récurrence.
Le second facteur vn + vn−1 est positif car ses termes sont des carrés par
dénition de la suite v .
Ainsi, vn+1 − vn < 0.
2
G.Gremillot
Conclusion :
D'après le principe de récurrence, pour tout entier n, on a
vn+1 − vn < 0 et la suite v est décroissante.
EXERCICES
Dans chaque cas, étudier la monotonie de la suite (un ) :
n−1
Méthode 1 : un =
n+1
(
u0 = 5
2un − 1
un+1 =
2
en
Méthode 2 : un =
n
2n+1
Méthode 3 : un = n−2
3
(
u0 = 0
un
Méthode 4 :
un+1 = 3 +
3
(On montrera d'abord, par récurrence, que tous les termes de la suite sont
positifs)
Avec la méthode qui vous semble la mieux adaptée :
un = n2 − 5n
un = 0, 1n × n2
u = n + cos n
n
u0 = 5 √
un+1 = un + 2
3
G.Gremillot