Carré du nombre i Forme algébrique d`un nombre complexe Forme
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! FORMULES ET THÉORÈMES Carré du nombre i On définit le nombre i de la façon 2 i = −1 suivante. Forme algébrique d'un nombre complexe Tout nombre complexe z peut s'écrire sous une forme algébrique. z = a + ib Re(z) = a (partie réelle de z) Im(z) = b (partie imaginaire de z) Forme trigonométrique, module et argument d'un nombre complexe Tout nombre complexe z peut s'écrire sous une forme trigonométrique. z = r(cos(θ) + i sin(θ) r est le module de z. θ est un argument de z. Notation exponentielle Un nombre complexe z, de module r et d'argument θ a la forme exponentielle iθ re suivante : Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique Si z admet la forme trigonométrique z = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors : Re(z) = r cos(θ) Im(z) = r sin(θ) Définition du conjugué Soit z = a + ib, où a et b sont des réels. On appelle z̄ le conjugué de z. z̄ = a − ib 2 2 z z̄ = a + b Propriétés du conjugué ′ Soient z et z deux nombres complexes. ′ ¯′ z + z = z̄ + z ′ ¯′ z × z = z̄ × z z z̄ ′ ( ′ ) = ¯ ′ , si z ≠ 0 z z Définition du module Soit z = a + ib, où a et b sont des réels. On note ∣z∣ le module de z. 2 2 ∣z∣ = √a + b Propriétés du module ′ Soient z et z deux nombres complexes, et n un entier naturel. ∣z∣ = √z z̄ n n ∣z ∣ = ∣z∣ ′ ′ ∣zz ∣ = ∣z∣∣z ∣ z ∣z∣ ′ ∣ ′ ∣ = ′ , si z n'est pas nul z ∣z ∣ ′ ′ ∣z + z ∣ ≤ ∣z∣ + ∣z ∣ Argument d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan dont il est l'affixe. ). arg(z) = (u ; OM Argument et opérations ′ Soient z et z deux nombres complexes, et n un entier naturel. arg(z ) = n arg(z) ′ ′ arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) z ′ arg( ′ ) = arg(z) − arg(z ) z arg(−z) = arg(z) + π arg( z̄ ) = − arg(z) n Définition de l'affixe d'un point Soit M un point de coordonnées (x; y) dans le plan muni du repère orthonormé , v ). (O; u zM = x + iy On note zM son affixe, définie comme suit. Définition de l'affixe d'un vecteur un vecteur du plan de Soit w coordonnées (x, y). On note zw son affixe, définie comme zw = x + iy suit. Calcul de la longueur d'un segment à l'aide des affixes Soient A et B deux points du plan. On note zA et zB leurs affixes respectives. AB = ∣zA − zB ∣ Calcul d'un angle orienté à l'aide des affixes Soient A, B, C et D des points distincts du plan. On note zA, zB, zC et zD leurs affixes zD − zC AB CD ( , ) = arg( B ) z − zA respectives. Affixe d'un vecteur Soient A et B deux points du plan. On note zA et zB leurs affixes respectives. On note zAB l'affixe du vecteur AB , = zB − zA zAB définie comme suit. Résolution dans C d'une équation du second degré avec Δ Soit (E) 2 : ax + bx + c = 0 une équation du second degré de discriminant Δ < 0. (E) admet 2 solutions distinctes complexes x1 et x2. x1 = −Δ −b − i√ 2a x2 = −Δ −b + i√ 2a <0 Les nombres complexes 1 FORME ALGÉBRIQUE A Nombres complexes et forme algébrique Propriété Nombre i ! Il existe un nombre noté i vérifiant : 2 i = −1 Propriété Ensemble des nombres complexes ! Il existe un ensemble de nombres, noté C , qui contient R et i. On l'appelle ensemble des nombres complexes. Propriété Opérations sur les nombres complexes De même que pour les nombres réels, on peut additionner, multiplier, soustraire des nombres complexes, et diviser par un nombre ! complexe non nul. Les règles de calcul sont les mêmes que dans R (factorisation, développement, identités remarquables, etc.) Exemple 2 (5 × i + 2 × i) × i = (5 + 2) × i × i = 7 × i = −7 Définition Forme algébrique, partie réelle et partie imaginaire Soit z un nombre complexe. Il existe un unique couple de réels (a, b) tel que z = a + ib. ! Cette écriture est appelée forme algébrique de z. a est la partie réelle de z, notée Re(z). b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). Exemple 3 i. Soit z = 5 + 2 Donc Re(z) 3 = 5 et Im(z) = 2 . Remarque Pour un nombre réel x, la forme algébrique de x est : x = x + 0 × i ; donc Re(x) = x et Im(x) = 0. Remarque ′ ′ Soient a, a , b et b des réels. Si a + ib = a B ′ ′ ′ ′ + ib , alors a = a et b = b . Conjugué et module de nombres complexes Définition Conjugué d'un nombre complexe ! Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est z = a + ib, où et b sont des réels. z̄ = a − ib est le nombre complexe conjugué de z. Exemple Soit z = 1 + 3i. Alors Propriété z̄ = 1 − 3i a Propriétés de calcul des nombres conjugués Soit z un nombre complexe défini par ! 2 z = a + ib avec a, b réels. 2 z z̄ = a + b Si b = 0 , alors z est réel et z = z̄ . Si a = 0 , alors z est un imaginaire pur et z = − z̄ . Propriété Conjugué de somme, produit et quotient de nombres complexes ′ Soient z et z deux nombres complexes. ! ′ ¯′ z + z = z̄ + z ′ ¯′ z × z = z̄ × z z z̄ ′ ( ′ ) = ¯ ′ , si z ≠ 0 z z Exemple 1 1̄ 1 = = 3 + 2i 3 + 2i 3 − 2i Définition Module d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est z = a + ib où ! a et b sont réels. On appelle ∣z∣ le module de z. ∣z∣ = √z z̄ = √a + b 2 2 Remarque Lorsque 2 x est réel, son module est ∣x∣ = √x ce qui correspond à sa valeur absolue, notée de la même manière. On peut donc considérer que le module généralise la notion de valeur absolue aux nombres complexes. Propriété Module et opérations ′ Soit z et z deux nombres complexes. n ∣z ∣ = ∣z∣ ! ′ n ′ ∣zz ∣ = ∣z∣∣z ∣ z ∣z∣ ∣ ′ ∣ = ′ , si z' n'est pas nul z ∣z ∣ ′ ′ ∣z + z ∣ ≤ ∣z∣ + ∣z ∣ Exemple 2 ∣2∣ 2 2 2 ∣ 3 + 4i ∣ = ∣3 = = = + 4i∣ √32 + 42 √25 5 Les nombres complexes 2 NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE A Plan complexe et affixe Définition Affixe d'un point On considère le plan muni du repère , v ). Soit M un (O; u point de coordonnées (x, y). orthonormé ! zM = x + iy est appelé l'affixe du point M . M est appelé l'image du nombre complexe zM . Définition ! Définition Plan complexe Le plan muni du repère , v ) est appelé le plan complexe. (O; u Affixe d'un vecteur un vecteur du plan de Soit w coordonnées (x, y). ! z = x + iy est appelé l'affixe de w . Remarque Ces définitions permettent d'interpréter tout nombre complexe comme un point du plan complexe : on passe à de la géométrie ! Propriété Module et longueur Si M est un point du plan, la longueur ! B OM correspond au module de z, l'affixe de M : OM = ∣z∣ Argument d'un nombre complexe Définition Argument d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe non nul. Soit M le point du plan dont il est ! l'affixe. On appelle argument de z une mesure en radian de l'angle ; OM (u ). On le note arg(z) Exemple Le nombre complexe i est l'affixe du point M(0, 1). π Un argument de z est donc arg(z) = 2 Propriété Argument défini à 2π près ! Soit z un nombre complexe, affixe d'un point M dans le plan complexe. L'argument de z est défini à 2π près. ; OM (u ) = arg(z) + 2kπ, où k est un entier relatif. Propriété Argument et opérations ′ Soient z et z sont deux nombres complexes, avec z ′ ≠ 0. arg(−z) = arg(z) + π + 2kπ où k est un entier relatif. ! arg( z̄ ) = − arg(z) + 2kπ où k est un entier relatif. ′ ′ arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) + 2kπ où k est un entier relatif. z ′ arg( ′ ) = arg(z) − arg(z ) + 2kπ où k est un entier relatif. z n arg(z ) = n arg(z) Remarque Soit x un nombre réel : Si x est positif, son image M est située sur « la droite » de l'axe des abscisses, donc son argument est 0 + 2kπ. Si x est négatif, son image N est située sur « la gauche » de l'axe des abscisses, donc son argument est π + 2kπ. Si z est un imaginaire pur de la forme bi avec b un réel : Si b est positif, son image K est située sur « la partie haute » de l'axe des ordonnées, donc son argument π est 2 + 2kπ. Si b est négatif, son image L est située sur « la partie basse » de l'axe des ordonnées, donc son argument π C Forme trigonométrique Propriété π est − 2 + 2kπ. Forme trigonométrique ! Soit z = x + iy un nombre complexe. On pose r = ∣z∣, θ = arg(z). Alors z peut s'écrire sous la forme, dite trigonométrique : z = r(cos(θ) + i sin(θ)) Propriété Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique ! Si z admet la forme trigonométrique z = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors Re(z) = r cos(θ) Im(z) = r sin(θ) Remarque Cette relation permet de calculer la forme trigonométrique d'un nombre complexe à partir de sa forme algébrique, et inversement. Exemple 2 √2 √ i + 3 2 2 Soit z le complexe de forme algébrique : z = 3 2 √2 √ z = 3( 2 + 2 i) Or 2 π π √ ) = sin( ) = cos( 2 4 4 donc l'écriture trigonométrique de D π π z est : 3(cos( 4) + i sin( 4)) et ∣z∣ = 3. Notation exponentielle Définition Notation exponentielle d'un nombre ! Soit θ un réel. iθ e = cos(θ) + i sin(θ) Définition Notation exponentielle d'un nombre complexe ! Soit z un nombre complexe de module z = re iθ Exemple i 2 π i=e π π π i 4 1 + i = √2(cos( 4) + i sin( 4)) = √2e r et d'argument θ + 2kπ. Propriété Opérations sur les exponentielles ′ Soit θ et θ deux nombres réels. iθ iθ ′ ′ e ×e = e ! i(θ+θ ) 1 iθ = e−iθ e iθ ′ eiθ′ = ei(θ−θ ) e iθ n (e ) = e inθ pour tout entier n. Propriété Relation entre cosinus, sinus et notation exponentielle Soit θ un nombre réel. ! e −iθ = cos(θ) − i sin(θ) iθ −iθ e + e cos(θ) = 2 iθ −iθ e − e sin(θ) = 2i Les nombres complexes 3 CAS D'APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES A Utilisation des nombres complexes dans le plan Propriété Calcul de longueur avec les modules Soient A et B deux points du plan. On note zA et zB leurs affixes ! respectives. AB = ∣zA − zB∣ = ∣zB − zA∣ Propriété Affixe d'un vecteur ! Soient A et B deux points du plan. On note zA et zB leurs affixes respectives. AB a pour affixe zAB = zB − zA Propriété Calcul d'angles orientés avec les arguments ! Soient A, B, C et D des points distincts du plan. On note zA, zB, zC et zD leurs affixes. zD − zC (AB , CD ) = arg( B ) + 2kπ, avec k entier relatif. z − zA Remarque B A , AB ) = arg(z − z ) = arg(zB − zA) + 2kπ, avec k entier relatif. (u 1 B Résolution d'une équation du second degré Propriété Résolution dans C d'une équation du second degré à coefficients réels Soit (E) 2 : az + bz + c = 0 une équation du second degré de discriminant Δ, où z est une inconnue complexe. ! Si Δ ≥ 0 , (E) se résout dans R de façon classique. Si Δ < 0 , (E) admet deux solutions complexes conjuguées qui sont : −Δ −b − i√ 2a −Δ −b + i√ 2a Remarque Attention, si on demande de résoudre solutions lorsque Δ < 0. (E) dans R (et non dans C ), il n'y a pas de Les nombres complexes ! A SAVOIR REFAIRE Mettre un quotient sous forme algébrique Mets 4+i 2 − 3i sous forme algébrique. TRADUIRE L'ÉNONCÉ 1 4+i 2 − 3i sous forme algébrique revient à trouver les réels a et b tels 4+i que 2 − 3i = a + ib. Mettre Il faut donc notamment ne plus avoir de i au dénominateur. MULTIPLIER LE NUMÉRATEUR ET LE DÉNOMINATEUR PAR LE CONJUGUÉ DU DÉNOMINATEUR On fait ainsi apparaître le module du dénominateur au carré : 2 4+i (4 + i)(2 + 3i) = 2 − 3i (2 − 3i)(2 + 3i) 2 2 Or le cours nous dit que z z̄ = a + b lorsque z = a + ib. Donc (2 − 3i)(2 + 3i) = 2 + 3 = 13 2 2 4 + i (4 + i)(2 + 3i) Donc 2 − 3i = 13 3 DÉVELOPPER LE NUMÉRATEUR ET LE METTRE SOUS FORME ALGÉBRIQUE 3 4 + i (4 + i)(2 + 3i) 4 × 2 + i × 2 + 4 × 3i + i × 3i 5 + 14i = = 13 2 − 3i = 13 13 CONCLURE 4 4+i 5 14 On a donc obtenu la forme algébrique : 2 − 3i = 13 + i 13 Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou à la forme exponentielle Écris z = 1 + i√3 sous formes trigonométrique et exponentielle. TRADUIRE L'ÉNONCÉ 1 Écrire z sous forme algébrique revient à trouver le module de z tels que z = r(cos(θ) + i sin(θ)). r et l'argument θ CALCULER LE MODULE DE z 2 2 2 ∣z∣ = √1 + (√3) = √4 = 2 CALCULER L'ARGUMENT À L'AIDE DES FORMULES DU COURS D'après le cours : Re(z) Re(z) = r cos(θ) donc cos(θ) = r ; 3 donc ici : cos(θ) 1 = 2 Im(z) De même, Im(z) Im(z) = r sin(θ) donc sin(θ) = r ; 3 √ donc ici : sin(θ) = 2 RECONNAÎTRE DES VALEURS REMARQUABLES DE cos ET sin On reconnaît des valeurs particulières de 4 cos et sin. π 1 cos( 3) = 2 π √3 sin( 3) = 2 Donc θ = π + 2kπ où k est un entier relatif. 3 CONCLURE 5 π r = 2 et θ = 3 + 2kπ. La forme trigonométrique de π π z est : z = 2(cos( 3) + i sin( 3)) i 3 π La notation exponentielle de z est : z = 2e Déterminer un ensemble de points du plan dont les affixes vérifient une équation donnée Détermine la nature de l'ensemble des points du plan dont les affixes ∣z − 1∣ ∣z − i∣ = 1. z vérifient INTERPRÉTER GÉOMÉTRIQUEMENT LES COMPOSANTES DE L'ÉQUATION Dans l'équation, ∣z − 1∣ est la longueur entre le point d'affixe d'affixe 1 . De même, ∣z − i∣ est la longueur entre le point d'affixe z et le point A z et le point B d'affixe i. 1 TRADUIRE GÉOMÉTRIQUEMENT L'ÉQUATION AM En remplaçant, on doit donc trouver les points M vérifiant : BM AM = BM. Ce sont donc l'ensemble des points équidistants de A et B. Ces points forment une droite, il s'agit de la médiatrice de 2 [AB]. = 1 soit Déterminer par le calcul un ensemble de points du plan dont les affixes vérifient une équation donnée Détermine la nature de l'ensemble des points d'affixe z−1 z vérifiant Re( z − i ) = 0. ÉCRIRE Z SOUS SA FORME ALGÉBRIQUE 1 On pose z = x + iy, où x et y sont réels. x + iy − 1 On cherche donc à résoudre Re( x + iy − i ) = 0 . METTRE L'ÉQUATION SOUS FORME ALGÉBRIQUE Or x + iy − 1 x − 1 + iy (x − 1 + iy)(x − i(y − 1)) = = x + iy − i x + i(y − 1) (x + i(y − 1))(x − i(y − 1)) 2 x + iy − 1 x(x − 1) + y(y − 1) + i(yx − (x − 1)(y − 1)) x + iy − 1 x(x − 1) + y(y − 1) + i(yx − (x − 1)(y − 1)) 2 2 x + iy − i = x + (y − 1) z−1 On en déduit ainsi : Re( z − i ) x(x − 1) + y(y − 1) = 2 2 x + (y − 1) FAIRE APPARAÎTRE L'ÉQUATION D'UNE FORME GÉOMÉTRIQUE SIMPLE (DROITE, CERCLE) D'après ce qui précède : z−1 x(x − 1) + y(y − 1) Re( z − i ) = 0 si et seulement si = 0. 2 2 x + (y − 1) Or 2 2 x + (y − 1) > 0 z−1 Donc Re( z − i ) = 0 si et seulement si x(x − 1) + y(y − 1) = 0 . En développant cette expression, on obtient : 2 2 x(x − 1) + y(y − 1) = x − x + y − y 3 On se rend compte qu'on retombe presque les identités remarquables 1 2 1 1 2 1 2 2 (x − 2 ) = x − x + 4 et (y − 2 ) = y − y + 4 . On obtient donc : 1 2 1 1 2 1 2 2 x − x + y − y = (x − 2 ) − 4 + (y − 2 ) − 4 1 2 1 2 1 ) − D'où x(x − 1) + y(y − 1) = (x − 2 ) + (y − 2 2 D'où z−1 1 2 1 2 1 Re( z − i ) = 0 si et seulement si (x − 2 ) + (y − 2 ) − 2 = 0 z−1 1 2 1 2 1 ) = . Donc Re( z − i ) = 0 si et seulement si (x − 2 ) + (y − 2 2 CONCLURE 1 1 1 1 1 , ) et R = On note alors S le point de coordonnées (2 2 1 . √2 Soit M un point vérifiant la condition de l'énoncé. Alors d'après le cours SM 1 2 1 2 1 = (x − 2 ) + (y − 2 ) = √ 2 = R √ Les points M solutions vérifient donc : SM 4 L'équation décrit donc un cercle de centre =R S et de rayon R. Résoudre une équation du second degré dans Résous dans C 2 C l'équation z + 2z + 3 = 0. CALCULER LE DISCRIMINANT 1 Le discriminant vaut : Δ = 2 2 − 4 × 3 = −8 < 0 L'équation possède deux solutions complexes conjuguées. CALCULER LES SOLUTIONS 2 D'après le cours, les solutions sont donc : √ 8 8 −2 − i√ et −2 + i√ 2 2 √ En simplifiant, les solutions sont −1 + i√2 et −1 + i√2 .
