TS DS N°1

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES
Durée : 2h
Exercice 1 : (5 points)
1. Question de cours : Montrer que les solutions de l’équation différentielle homogène
y' ay
où a est
un réel donné, sont définies par :
ax x , f ( x) Ce  
, où C est une constante réelle.
2. Résoudre les équations différentielles suivantes :
a)
31y' y
b)
20y' y  
avec
2y( ) e
.
Exercice 2 (8 points)
Soit f la fonction définie sur
,0
par
xx
xxxf )ln(1 )( 2
.
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal d’unités graphiques : 4 cm en abscisses, 2 cm en
ordonnées.
1. On considère la fonction auxiliaire définie sur
,0
par :
)ln(2)( 23 xxxx 
a) Etudier les variations de .
b) Démontrer que l’équation
0)( x
a une solution unique qu’on appellera . Trouver le nombre entier naturel p tel
que :
22 10).1(10.  pp
.
c) En déduire le signe de
)(x
suivant les valeurs de x.
2. a) Déterminer la limite de f en + .
b) Déterminer la limite de f en 0. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
3. a) Montrer que
2
()
'( ) x fx x
. En déduire les variations de f et dresser son tableau de variation.
b) Tracer C.
Exercice 3 : (7 points)
1. Pour chacune des affirmations, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix :
z et z’ sont deux nombres complexes non nuls.
Les questions sont indépendantes :
a)
'' zzzz 
.
b)
2
11 ziz 
.
c) Si
2)Re( z
alors
2z
.
d)
z
est un imaginaire pur si et seulement si
2
arg( z )
.
e) Si
2
4
)arg( z
alors
2
2
)2arg( z
.
2. a) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique :
12 3 ( 1)( 1)z i i i   
;
262
1
i
zi
et
3
3(1 )zi
.
b) Construire à la règle et au compas dans un repère orthonormal les points A, B et C d’affixes respectives z1, z2 et
z3.