Soutien 2

Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
Définitions et notations du GEII ( extrait du chapitre 1 )
Z = x + j.y où x ∈ R
I , y ∈R
I et j2 = −1
x est la partie réelle de
On note : =
( )
y est la partie imaginaire de
On note : =
( )
Le module de Z est noté Z ou encore Z , c’est la distance de O à M, donc Z = x 2 + y 2
→
→
L’argument de Z est noté arg(Z) , c’est la mesure en radians de l’angle de vecteur orienté ( OI, OM ) ,
déterminée à
près ( ∈ ℤ). On note θ = arg(Z) , on a alors :
x partie réelle de Z
Re( Z )

=
cos( θ) = Z = module de Z
Z
si Z ≠ 0 .

y
partie
imaginaire
de
Z
Im(
Z
)
sin(θ ) = =
=
Z
module de Z
Z

Im( Z )
Le plan complexe est muni
→
+
M(x+jy= Ze )
y
→
d’un RON (O ; OI , OJ )
orienté dans le sens direct.
Z = x + j.y où x,y ∈ RI
Z
Le point M(x,y) est appelé
image de Z .
Z est appelé l’affixe du
point M.
Z est aussi appelé l’affixe
J
θ
O
I −θ
→
→
Re( Z )
Z
du vecteur OM .
→
x
→
OM = x. i + y. j
M(x-jy= Ze
-y
)
Forme algébrique de Z :
Z = x + j.y (coordonnées cartésiennes)
Forme trigonométrique de Z :
Z = Z. cos(θ) + j.Z. sin(θ) = Z.(cos(θ) + j. sin(θ) ) (coordonnées polaires)
Forme exponentielle, géométrique ou polaire : Euler a noté e jθ = cos(θ) + j. sin(θ)
Z = Z.e j.θ
∗
Nombre complexe conjugué de Z : Soit Z = x + j.y , on appelle conjugué de Z , et on note Z , le
∗
∗
nombre complexe défini par : Z = x − j. y . Si Z = Z.e j.θ , alors Z = .
∗
∗
1
Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
Exercice 1 Pour chaque nombre complexe suivant déterminer : la partie réelle, la partie
imaginaire, le module, un argument, puis les écritures trigonométrique et en coordonnées
polaires.
1. z 1 = 1 + j 3
2. z 2 = −1 + j 3
5. z 5 = −2 − 2 j 3
6.
−
3. z 3 = −1 − j 3
.
!
4. z 4 = 1 − j 3
%.
"#$
&'
(# &'
Exercice 2 Compléter le tableau ci-dessous :
Re( Z )
Z
7.e
j
Im( Z )
Arg( Z )
Z
Ecriture
expo/alg.
Z
∗
(expo et alg.)
6π
18
− 6+j 2
− e jπ .e
5 jπ
6
Exercice 3 Compléter les QCM en page 3 et 4.
Exercice 4 1) Ecrire sous forme exponentielle : Z =
6−j 2
2(1 − j)
6−j 2
, puis d’après le résultat obtenu à la question
2(1 − j)
π
2), en déduire la valeur exacte de cos( ) .
12
2) Ecrire sous forme algébrique : Z =
 3 - j

Exercice 5 1) Ecrire sous forme exponentielle : Z = 

 -1- j 
4
4
 3 - j

2) En déduire une écriture algébrique de Z = 

1
j


3
3
2
Exercice 6 1) Montrer que : (a + b ) = a + 3.a b + 3.a.b 2 + b 3
2) Ecrire la formule d’Euler donnant : cos(x)=………………………………………………….
3) A l’aide des questions 2 et 3 linéariser cos3(x)
Exercice 7 Calculer les racines carrées des nombres suivants :
jπ
1) 16 − 16 j 2) 5.e
3) 5 + 12 j
6
2
Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
QCM Mathématiques
1. Laquelle de ces trois phrases est juste ?
π est un nombre irrationnel
√2 est un nombre rationnel
−eestunentierrelatif
2. Laquelle de ces trois valeurs est juste ?
Soit Z = 4 – 2j
Z = 2. √3
Z = 2. √5
Z = 20
3. Quelle est l’écriture trigonométrique de 1 + j√3 ?
?
?
?
?
?
?
2. ;<= >" @ + 2. . AB; > " @
2. AB; >C @ + 2. . ;<= > C @
2. AB; >" @ + 2. . ;<= > " @
4. Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe suivant ?
Z = jL
+
Im( Z ) = jLω
Im( Z ) = Lω
Im( Z ) = R
5. Parmi ces trois résultats lequel est le juste ?
Soit Z =1
arg( Z ) = -8π
Z = 0
arg( Z ) = π
6. Quelle est l'écriture géométrique (ou exponentielle) de Z = 1- j ?
J
Z = √2. H I K
3
Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
Z = 2. H
I
Z = √2. H
J
K
I
J
K
I
7. Quelle est l'écriture algébrique de Z = 4. H
Z = 2√3 - j
?
Z = 2(j − √3)
8. Quelle est la partie imaginaire de
Im( Z ) = MNJ
O
Z =
Z = 2(1 + j√3)
!#I
!#I √"
?
√" !
P
Im( Z ) = j
Im( Z ) = ! √"
P
! √"
P
9. Quelle est la phrase juste ?
"L'argument d'un produit de nombres complexes est la somme des arguments à 2kQ près."
"L'argument d'un produit de nombres complexes est le produit des arguments à 2kQ
près."
"L'argument d'un produit de nombres complexes est le quotient des arguments à 2kQ
près."
10. Quelle est la phrase juste ?
"Le module d'un produit de nombres complexes est la somme des modules."
"Le module d'un quotient de nombres complexes est le quotient des modules."
"Le module d'un produit de nombres complexes est le produit des modules."
4