Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
1
Définitions et notations du GEII
( extrait du chapitre 1 )
Le module de
Z
est noté Z ou encore
Z
, c’est la distance de O à M, donc
22 yxZ +
++
+=
==
=
L’argument de
Z
est noté
(
((
(
)
))
)
Zarg
, c’est la mesure en radians de l’angle de vecteur orienté
)OM,OI(
,
déterminée à près   . On note
(
((
(
)
))
)
Zarg
=
==
=
θ
θθ
θ
, on a alors :
0Z si
Z)ZIm(
Z de module Z de imaginaire partie
Z
y
)sin(
Z)ZRe(
Z de module Z de réelle partie
Z
x
)cos(
=
==
==
==
==
==
=θ
θθ
θ
=
==
==
==
==
==
=θ
θθ
θ.
Le plan complexe est muni
d’un RON (O ;
OI
,
OJ
)
orienté dans le sens direct.
y.jxZ
+
=
où x,y
RI
Le point M(x,y) est appelé
image de
Z
.
Z
est appelé l’affixe du
point M.
Z
est aussi appelé l’affixe
du vecteur
OM
.
+= j.yi.xOM
Forme algébrique de
Z
:
y.jxZ
+
++
+
=
==
=
(coordonnées cartésiennes)
Forme trigonométrique de
Z
:
(
((
(
)
))
)
)sin(.j)cos(.Z)sin(.Z.j)cos(.ZZ
θ
θθ
θ
+
++
+
θ
θθ
θ
=
==
=
θ
θθ
θ
+
++
+
θ
θθ
θ
=
==
=
(coordonnées polaires)
Forme exponentielle, géométrique ou polaire : Euler a noté
)sin(.j)cos(e
j
θ
θθ
θ+
++
+θ
θθ
θ=
==
=
θ
θθ
θ
θ
θθ
θ
=
==
=
.j
e.ZZ
Nombre complexe conjugué de
Z
: Soit
y.jxZ
+
++
+
=
==
=
, on appelle conjugué de
Z
, et on note
Z, le
nombre complexe défini par : y.jxZ
=
==
=
. Si
θ
θθ
θ
=
==
=
.j
e.ZZ
, alors
Z=

O
Re( Z )
Im( Z )
I
J
+
x
y
Z
M(x+jy=
)
Z
x est la partie réelle de
On note :

(
)
y.jxZ
+
++
+
=
==
=
x
RI ,
y
RI et
1j
2
=
==
=
y est la partie imaginaire de
On note :

(
)
-y M(x-jy=
)
Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
2
Exercice 1
Pour chaque nombre complexe suivant déterminer : la partie réelle, la partie
imaginaire, le module, un argument, puis les écritures trigonométrique et en coordonnées
polaires.
1.
3j1z
1
+=
2.
3j1z
2
+=
3.
3j1z
3
=
4.
3j1z
4
=
5.
3j22z
5
=
6.
 
!
"#$
%
&'
(#&'
Exercice 2
Compléter le tableau ci-dessous :
Z
Re(
Z
) Im(
Z
) Z Arg(
Z
) Ecriture
expo/alg.
Z
(expo et alg.)
18
6
j
e.7
π
2j6
+
6
j5
j
e.e
π
π
Exercice 3 Compléter les QCM en page 3 et 4.
Exercice 4 1)
Ecrire sous forme exponentielle :
)j1(2 2j6
Z
=
2)
Ecrire sous forme algébrique : )j1(2 2j6
Z
=, puis d’après le résultat obtenu à la question
2), en déduire la valeur exacte de
)
12
π
cos( .
Exercice 5 1) Ecrire sous forme exponentielle :
4
j-1- j-3
Z
=
2) En déduire une écriture algébrique de
4
j-1- j-3
Z
=
Exercice 6 1) Montrer que :
(
)
3223
3
bb.a.3ba.3aba +++=+
2) Ecrire la formule d’Euler donnant : cos(x)=………………………………………………….
3) A l’aide des questions 2 et 3 linéariser cos
3
(x)
Exercice 7 Calculer les racines carrées des nombres suivants :
1)
j1616
2)
6
πj
e.5 3)
j12+5
Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
3
QCM Mathématiques
1. Laquelle de ces trois phrases est juste ?
) est un nombre irrationnel
*+ est un nombre rationnel
,-.//-01123-04
2. Laquelle de ces trois valeurs est juste ?
Soit
Z
= 4 – 2j
  +*5   +*6   +7
3. Quelle est l’écriture trigonométrique de 8 9 :*6 ?
+;<=>
?
"
@ 9 +AB;>
?
"
@
+AB;>
?
C
@ 9 +;<=>
?
C
@
+AB;>
?
"
@ 9 +;<=>
?
"
@
4. Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe suivant ?
Z= jL 9 
DE
Z
 :FG
Im(
Z
) = LG
Im(
Z
) = R
5. Parmi ces trois résultats lequel est le juste ?
Soit
Z
=8
 arg(
Z
) = -8) Z = 0 arg(
Z
) = )
6. Quelle est l'écriture géométrique (ou exponentielle) de Z= 1- j ?
Z
= *+H
IJ
K
Méthodologie pour la réussite universitaire – Nombres complexes
4
Z
 +H
IJ
K
Z
= *+H
IJ
K
7
. Quelle est l'écriture algébrique de Z= LHI
MNJ
O
?
Z
= 2*6 - j
Z
+:  *6
Z
+8 9 :*6
8. Quelle est la partie imaginaire de Z!#I
!#I*" ?
DE
Z
*"!
P
DE
Z
 :
!*"
P
DE
Z
!*"
P
9. Quelle est la phrase juste ?
"L'argument d'un produit de nombres complexes est la somme des arguments à 2kQ près."
"L'argument d'un produit de nombres complexes est le produit des arguments à 2kQ
près."
"L'argument d'un produit de nombres complexes est le quotient des arguments à 2kQ
près."
10. Quelle est la phrase juste ?
"Le module d'un produit de nombres complexes est la somme des modules."
RLe module d'un quotient de nombres complexes est le quotient des modules."
"Le module d'un produit de nombres complexes est le produit des modules."
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