TS Nombres complexes (partie 2) Modèles de rédaction

TS - Année 2015/2016
TS
Nombres complexes (partie 2)
Modèles de rédaction
Exercice 1 : Forme trigonométrique et exponentielle
1) Déterminer une forme trigonométrique puis exponentielle du nombre complexe z = −1 + i 3
2) Déterminer la forme algébrique de z 5 .
Solution
1) Déterminons une forme trigonométrique de z = −1 + i 3
Méthode 1
2
|z| = −1 2 + 3 = 4 = 2
Soit θ un argument de z
cos θ = −1
2
⇔ θ = 2π 2π
3
3
sin θ =
2
Méthode 2 ( Rapide )
donc z = 2 cos 2π + i sin 2π
3
3
2π
i
= 2e 3
2π
i
3
donc z = 2 − 1 + i
= 2 cos 2π + i sin 2π = 2e 3
2
2
3
3
2) Déterminons la forme algébrique de z 5
2π 5
10iπ
4iπ
i
3
5
z = 2e 3
= 2 5 e 3 = 2 5 e 3 = 32 cos 4π + i sin 4π = 32 − 1 − i
= −16 − 16i 3
2
3
3
2
|z| =
−1 2 + 3
2
=
4 =2
Exercice 2 : Nature d’un triangle
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O , u , v .
On considère les points A2 + 2i, B−1 + 3i et C1 − i
− zA .
1) Donner la forme algébrique et une forme exponentielle du quotient zzCB −
zA
2) En déduire la nature du triangle ABC.
Solution
π
− z A = 1 − i − 2 − 2i = −1 − 3i = −1 − 3i−3 − i = 10i = i = e i 2
1) zzCB −
zA
−1 + 3i − 2 − 2i
−3 + i
10
10
z
C − zA
2) z B − z A = |i|  AC = 1  AC = AB
AB
z
C − zA
arg z B − z A = argi 2π  mes AB , AC = π 2π
2
Donc le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
Exercice 3 : Points alignés
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O , u , v .
On considère les points A−i,
B1 + i,
D4 + 7i.
Démontrer de deux façons que les points A, B, D sont alignés.
Solution
Démontrons de deux façons que les points A, B, D sont alignés.
Méthode 1.
AB a pour affixe z B − z A = 1 + i − −i = 1 + 2i et AD a pour affixe z D − z A = 4 + 7i − −i = 4 + 8i
1
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Or 4 + 8i = 41 + 2i donc AD = 4AB donc les vecteurs AB et AD sont colinéaires donc
les points A, B et D sont alignés .
Méthode 2
mes AB, AD
− zA
= arg zzDB −
zA
2π = arg
4 + 7i − −i
1 + i − −i
2π = arg 4 + 8i
1 + 2i
2π = arg4 2π = 0 2π
Donc les points A, B et D sont alignés .
Exercice 4 : Ensemble de points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O , u , v .
On considère les points A−2i,
Bi,
1) Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tels que |z + 2i| = 4
2) Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z tels que z + 2i soit réel
z−i
Solution
1)
Mz ∈ E  |z + 2i| = 4
 |z M − z A | = 4
 AM = 4
E est le cercle de centre A et rayon 4
2)
Méthode 1 (algébrique)
On pose z = x + iy avec x, y ∈ ℝ.
x + iy + 2
x + iy + 2i
x − iy − 1
x + iy + 2x − iy − 1
y + x2 + y2 − 2 +
=
×
=
=
∀z ∈ ℂ\i, z + 2i =
z−i
x + iy − i
x + iy − 1
x − iy − 1
x 2 + y − 1 2
x 2 + y − 1 2
Mz ∈ F  z + 2i est réel et z ≠ i
z−i
 3x = 0 et x, y ≠ 0, 1
 x = 0 et x, y ≠ 0, 1
Donc
F est la droite d’équation x = 0 privée du point d’affixe i c’est à dire la droite AB privée du point B .
Méthode 2 (géométrique)
Mz ∈ F  z + 2i réel et z ≠ i
z−i
 arg z + 2i = 0 π et z ≠ −2i et z ≠ i ou z = −2i
z−i

mes MB, MA
= 0 π et M ≠ A et M ≠ B ou M = A
Donc F est la droite AB privée du point B .
Exercice 5 (Résolution d’équation en utilisant la forme exponentielle)
Résoudre dans ℂ l’ équation suivante:
z 7 = −1
Solution
On pose z = re iθ , avec r ∈ ℝ ∗+ et θ ∈ ℝ
2
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z 7 = −1  re iθ  7 = e iπ
 r 7 e i7θ = e iπ
S=
 r 7 = 1 et 7θ = π + 2kπ avec k ∈ ℤ
(par identification)
 r = 1 et θ = π + 2kπ avec k ∈ ℤ
7
7
π
3π
5π
9π
11π
13π
i
i
i
i
i
i
e 7 ; e 7 ; e 7 ; e iπ ; e 7 ; e 7 ; e 7
3