TS Nombres complexes (partie 2) Modèles de rédaction

TS - Année 2015/2016
TS Nombres complexes (partie 2)Modèles de rédaction
Exercice 1 :Forme trigonométrique et exponentielle
1) Déterminer une forme trigonométrique puis exponentielle du nombre complexe z=−1+i3
2) Déterminer la forme algébrique de z
5
.
Solution
1) Déterminons une forme trigonométrique de z=−1+i3
Méthode 1
|z|=−1
2
+3
2
=4=2
Soit θun argument de z
cosθ=−1
2
sinθ=3
2
⇔θ=2π
32πdonc z=2 cos 2π 3+isin 2π 3=2e
i
2π
3
Méthode 2 (Rapide )
|z|=−1
2
+3
2
=4=2donc z=2−1
2+i3 2=2 cos 2π 3+isin 2π 3=2e
i
2π
3
2) Déterminons la forme algébrique de z
5
z
5
=2e
i
2π
3
5
=2
5
e10iπ
3=2
5
e4iπ
3=32 cos 4π
3+isin 4π 3=32 −1 2−i3 2=−16 −16i3
Exercice 2 :Nature d’un triangle
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v.
On considère les points A2+2i,B−1+3iet C1−i
1) Donner la forme algébrique et une forme exponentielle du quotient z
C
−z
A
z
B
−z
A
.
2) En déduire la nature du triangle ABC.
Solution
1)z
C
−z
A
z
B
−z
A
=1−i−2−2i
−1+3i−2−2i=−1−3i −3+i=−1−3i−3−i 10 =10i 10 =i=e
i
π
2
2)z
C
−z
A
z
B
−z
A
=|i|AC
AB =1AC =AB
arg z
C
−z
A
z
B
−z
A
=argi 2πmes AB ,AC =π
22π
Donc le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
Exercice 3 :Points alignés
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v.
On considère les points A−i,B1+i,D4+7i.
Démontrer de deux façons que les points A,B,Dsont alignés.
Solution
Démontrons de deux façons que les points A,B,Dsont alignés.
Méthode 1.
AB a pour affixe z
B
−z
A
=1+i−−i=1+2iet AD a pour affixe z
D
−z
A
=4+7i−−i=4+8i
1

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Or 4+8i=41+2idonc AD =4AB donc les vecteurs AB et AD sont colinéaires donc
les points A,Bet Dsont alignés .
Méthode 2
mes AB,AD =arg z
D
−z
A
z
B
−z
A
2π=arg 4+7i−−i
1+i−−i2π=arg 4+8i
1+2i2π=arg4 2π=02π
Donc les points A,Bet Dsont alignés .
Exercice 4 :Ensemble de points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v.
On considère les points A−2i,Bi,
1) Déterminer l’ensemble Edes points Md’affixe ztels que |z+2i|=4
2) Déterminer l’ensemble Fdes points Md’affixe ztels que z+2i
z−isoit réel
Solution
1)
Mz∈E|z+2i|=4
|z
M
−z
A
|=4
AM =4
Eest le cercle de centre Aet rayon 4
2)Méthode 1 (algébrique)
On pose z=x+iy avec x,y∈ℝ.
∀z∈ℂ\i,z+2i
z−i=x+iy +2i x+iy −i=x+iy+2
x+iy−1 ×x−iy−1
x−iy−1 =x+iy+2x−iy−1
x
2
+y−1
2
=y+x
2
+y
2
−2+
x
2
+y−1
2
Mz∈Fz+2i
z−iest réel et z≠i
3x=0et x,y≠0,1
x=0et x,y≠0,1
Donc
Fest la droite d’équation x=0privée du point d’affixe ic’est à dire la droite ABprivée du point B.
Méthode 2 (géométrique)
Mz∈Fz+2i
z−iréel et z≠i
arg z+2i
z−i=0πet z≠ −2iet z≠iou z=−2i
mes MB,MA =0πet M≠Aet M≠Bou M=A
Donc Fest la droite ABprivée du point B.
Exercice 5 (Résolution d’équation en utilisant la forme exponentielle)
Résoudre dans ℂl’ équation suivante: z
7
=−1
Solution
On pose z=re
iθ
,avec r∈ℝ
+
∗
et θ∈ℝ
2

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z
7
=−1re
iθ
7
=e
iπ
r
7
e
i7θ
=e
iπ
r
7
=1et 7θ=π+2kπavec k∈ℤ(par identification)
r=1et θ=π
7+2kπ 7avec k∈ℤ
S=e
i
π
7;e
i
3π
7;e
i
5π
7;e
iπ
;e
i
9π
7;e
i
11π
7;e
i
13π
7
3