ALGEBRE L1 et PL1 - EFREI 2011 TD2

ALGEBRE L1 et PL1 - EFREI
2011
TD2 - Nombres complexes
1. Soit α ∈ C tel que α 7 = 1. Calculer S = α / (1+ α 2 ) + α 2 / (1+ α 4 ) + α 3 / (1+ α 6 )
2. Calculer cos 3 θ en fonction de cos θ , puis sin 3 θ en fonction de sin θ
3. Résoudre l’équation z 2 - z + z = 0.
4. Quel est l’ensemble des points d’affixe z tels que z + z = |z| ?
5. Quel est l’ensemble des points d’affixe z tels que les points 1, z et z 2 +1 soient alignés ?
6. Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que z + 1/z ∈ R.
7. Déterminer z afin que les points d’affixe i, z et iz forment un triangle équilatéral.
8. Quel est l’ensemble des points d’affixe Z =
z
quand |z-1| = 1 ?
2− z
9. Résoudre, sous forme algébrique, dans C : z 4 = -7 + 24i
10. Résoudre, sous forme algébrique, dans C : (2+i)z 2 -(3+2i)z +1-i/2 = 0
11. Montrer que l’équation : z 3 -(6+3i)z 2 +(21+19i)z -26(1+i) = 0 admet une racine réelle que l’on
calculera. En déduire les autres racines sous forme algébrique.
12. Résoudre : z 2 n - (2cosφ)z n + 1 = 0
13. Calculer C n =
k =n
∑ cos kθ
k =0
et S n =
k =n
∑ sin kθ
k =O