ALGEBRE L1 et PL1 - EFREI 2011 TD2

ALGEBRE L1 et PL1 - EFREI 2011
TD2 - Nombres complexes
1. Soit α
∈
C tel que
7
α
= 1. Calculer S = α / (1+ α
2
) + α
2
/ (1+ α
4
) + α
3
/ (1+ α
6
)
2. Calculer cos 3
θ
en fonction de cos
θ
, puis sin 3
θ
en fonction de sin
θ
3. Résoudre l’équation z
2
-
z
+ z = 0.
4. Quel est l’ensemble des points d’affixe z tels que z +
z
= |z| ?
5. Quel est l’ensemble des points d’affixe z tels que les points 1, z et z
2
+1 soient alignés ?
6. Déterminer l’ensemble des points d’affixe z tels que z + 1/z
∈
R.
7. Déterminer z afin que les points d’affixe i, z et iz forment un triangle équilatéral.
8. Quel est l’ensemble des points d’affixe Z =
z
z
−2
quand |z-1| = 1 ?
9. Résoudre, sous forme algébrique, dans C : z
4
= -7 + 24i
10. Résoudre, sous forme algébrique, dans C : (2+i)z
2
-(3+2i)z +1-i/2 = 0
11. Montrer que l’équation : z
3
-(6+3i)z
2
+(21+19i)z -26(1+i) = 0 admet une racine réelle que l’on
calculera. En déduire les autres racines sous forme algébrique.
12. Résoudre : z
n2
- (2cosφ)z
n
+ 1 = 0
13. Calculer C
n
=
∑
=
=
nk
k
k
0
cos θ
et S
n
=
∑
=
=
nk
Ok
k θ sin