z - Vauban 95

Solution – Nombres Complexes – Q.C.M. – s4233
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O .
1/ Une solution de l’équation 2z + z = 9 + i est :
a) 3
b) i
c) 3 + i .
a) 3 est à éliminer, car étant un réel, reporté dans 2z + z , le résultat restera réel, donc différent de 9 + i .
b) i est à éliminer, car étant imaginaire pur, reporté dans 2z + z , le résultat le restera, donc différent de 9 + i .
c) Vérifions que z = 3 + i convient : z = 3 – i .
2z + z = 2(3 + i) + (3 – i) = 9 + i .
2/ Soit z un nombre complexe. | z + i | est égal à :
a) |z| + 1
b) |z – 1|
c) |i z + 1| .
a) Contre exemple : z = -i ⇒ |z + i| = 0 et |z| + 1 = 2 .
b) Contre exemple : z = -i ⇒ |z + i| = 0 et |z – 1| = |-i – 1| = |1 + i| =
2.
c) Vérifions : i z + 1 = i z – i2 = i( z – i) = i( z + i ) ⇒ | i z + 1| = |i|.| z + i | =1.|z + i| = |z + i| .
3/ Soit z un nombre complexe non nul, d’argument θ . Un argument de
-1 + i 3
est :
z
π
a) - + θ
3
b)
2π
π
+θ
3
c)
2π
π
–θ.
3
1
3
2π
2π
+ i sin
] = 2e2iπ/3 et z = ρeiθ ⇒ z = ρe-iθ .
-1 + i 3 = 2- + i  = 2[cos
2
3
3
2
z
-1 + i 3 2π
2π
arg   = arg (z) – arg (z’) [2π] ⇒ arg 
 z  = 3 – (-θ) = 3 + θ .
z’


4/ Soit n un entier naturel. Le complexe ( 3 + i)n est un imaginaire pur si et seulement si :
b) n= 6k + 3 avec k ∈ ZZ
a) n = 3
c) n = 6k avec k ∈ ZZ .
3 i
π
π
+ = 2(cos + i sin ) = 2eiπ/6 ⇒ ( 3 + i)n = 2n.eniπ/6 .
6
6
 2 2
3 + i = 2
( 3 + i)n sera imaginaire pur si et seulement si n
n 1
π π
= + kπ ⇔ = + k ⇔ n = 3 + 6k , k ∈ ZZ .
6 2
6 2
5/ Soient A et B deux points d’affixes respectives i et -1 .
L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant
a) La droite (AB)
|z – i| = |z + 1| est :
b) Le cercle de diamètre [AB]
c) La perpendiculaire à [AB] passant par O .
|z – i| = |z + 1| ⇔ |zM – zA| = |zM – zB| ⇔ MA = MB .
Les points M sont sur la médiatrice de [AB] , qui est la perpendiculaire à [AB] passant par O .
1
6/ Soit Ω le point d’affixe 1 – i . L’ensemble des points M d’affixe x + iy vérifiant |z – 1 + i| = |3 – 4i| a pour équation :
a) y = -x + 1
|3 – 4i| =
c) z = 1 – i + 5eiθθ avec θ réel.
b) (x – 1)2 + y2 = 5
32 + 42 = 25 = 5 .
L’énoncé équivaut à |z – 1 + i| = 5 , soit z – 1 + i = 5eiθ ⇔ z = 1 – i + 5eiθ avec θ réel.
7/ Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i . L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle, avec
→
→
( AB ; AC ) = +
π
est :
2
a) 1 – 4i
b) -3i
c) 7 + 4i .
L’énoncé équivaut à :
zC – zA
= 1.eiπ/2 = i ⇔ zC – zA = i(zB – zA) ⇔ zC – 4 = i(3i – 4) ⇔ zC = 4 + 3i2 – 4i = 1 – 4i .
zB – zA
8/ L’ensemble des solutions dans C
I de l’équation
a) {1 ; -i}
z–2
= z est :
z–1
b) Ensemble vide ∅
c) {1 – i ; 1 + i} .
z–2
= z ⇔ z(z – 1) = z – 2 pour z ≠ 1 ⇔ z2 – 2z + 2 = 0 .
z–1
- On peut remarquer que z = 1 n’est pas solution, et qu’une équation du second degré complexe possède toujours deux
solutions, conjuguées l’une de l’autre. La seule solution possible est donc c) .
- On peut aussi calculer ∆ = -4 et résoudre : z1 =
-b – i -∆
-b + i -∆
= 1 – i et z2 =
=1+i.
2a
2a
2